Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando . Verifique se a solução é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear
usando o método matricial de autovalores e autovetores, analisar o comportamento para , classificar o ponto de equilíbrio e esboçar a família de soluções. Vamos montar a matriz do sistema, achar autovalores, autovetores, escrever a solução geral e estudar sua dinâmica.
l(1-raiz11r)v1-2v2=0 implies v^(1) = -(1+raiz11)5 (escolhido por escala)
Para lambda2 = -raiz11 temos
l(1+raiz11r)v1-2v2=0 implies v^(2) = -(1-raiz11)5
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear dos modos:
ou seja
Passo 5
Para tto+infty o termo e^raiz11,t domina (já que raiz11>0), portanto as soluções genéricas divergem ao longo da direção do autovetor v^(1). Só quem estiver exatamente na direção de v^(2) (isto é, C1=0) tende a zero.
Passo 6
Como há um autovalor positivo e um negativo, vec x=(0,0) é um ponto de sela (saddle) e portanto um ponto de equilíbrio instável.
Passo 7
O esboço das soluções é o de um saddle: as retas geradas por v^(1) e v^(2) são as direções principais. Para C2=0 as curvas crescem exponencialmente afastando-se do equilíbrio; para C1=0 aproximam-se exponencialmente de (0,0); para C1,C2neq0 o trajeto aproxima-se do equilíbrio seguindo v^(2) e em seguida dispara seguindo v^(1).
Para tto+infty as soluções divergem ao longo do autovetor de lambda=raiz11. O ponto (0,0) é um ponto de sela (saddle), logo instável. A família de soluções forma o esqueleto característico de um saddle, com trajetórias aproximando-se pela direção estável e sendo repelidas pela direção instável.