Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando t longrightarrow+infty. Verifique se a solução x(t)=(x1(t), x2(t))=(0,0) é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
l x1^prime=x1-2 x2 x2^prime=-5 x1-x2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x1' = x1 - 2x2, x2' = -5x1 - x2,
usando o método matricial de autovalores e autovetores, analisar o comportamento para tto+infty, classificar o ponto de equilíbrio vec x=(0,0) e esboçar a família de soluções. Vamos montar a matriz do sistema, achar autovalores, autovetores, escrever a solução geral e estudar sua dinâmica.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma vetorial vec x' = Avec x, com
A = 1 & -2 -5 & -1
Calculamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det 1-lambda & -2 -5 & -1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda)-(-2)(-5) =lambda^2-11
Logo os autovalores são
lambda1 = +raiz11, lambda2 = -raiz11

Passo 3

Para lambda1 = raiz11 resolvemos (A-lambda1I)v=0:
l(1-raiz11r)v1-2v2=0 implies v^(1) = -(1+raiz11)5 (escolhido por escala)
Para lambda2 = -raiz11 temos
l(1+raiz11r)v1-2v2=0 implies v^(2) = -(1-raiz11)5

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear dos modos:
ou seja

Passo 5

Para tto+infty o termo e^raiz11,t domina (já que raiz11>0), portanto as soluções genéricas divergem ao longo da direção do autovetor v^(1). Só quem estiver exatamente na direção de v^(2) (isto é, C1=0) tende a zero.

Passo 6

Como há um autovalor positivo e um negativo, vec x=(0,0) é um ponto de sela (saddle) e portanto um ponto de equilíbrio instável.

Passo 7

O esboço das soluções é o de um saddle: as retas geradas por v^(1) e v^(2) são as direções principais. Para C2=0 as curvas crescem exponencialmente afastando-se do equilíbrio; para C1=0 aproximam-se exponencialmente de (0,0); para C1,C2neq0 o trajeto aproxima-se do equilíbrio seguindo v^(2) e em seguida dispara seguindo v^(1).

Resposta

A solução geral é
vec x(t) = C1,e^raiz11t-(1+raiz11)5 + C2,e^-raiz11t-(1-raiz11)5
Para tto+infty as soluções divergem ao longo do autovetor de lambda=raiz11. O ponto (0,0) é um ponto de sela (saddle), logo instável. A família de soluções forma o esqueleto característico de um saddle, com trajetórias aproximando-se pela direção estável e sendo repelidas pela direção instável.

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