Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfax: T(1,2)=(1,-1,2) e T(2,3)=(-2,-3,2).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa dois valores:
T(1,2)= (1,-1,2)
e
T(2,3)= (-2,-3,2).
A tarefa é determinar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
e, em particular, achar o valor da entrada a_{21} (segunda linha, primeira coluna) dessa matriz. Aqui estão todas as informações relevantes do enunciado listadas claramente:
  • Dados: T(1,2)=(1,-1,2) e T(2,3)=(-2,-3,2).
  • Pedido: encontrar a matriz A de dimensão 3\times2 que representa T e, a partir dela, o valor de a_{21}.

Passo 2

Como T é linear, é útil escrever A em termos das imagens dos vetores canônicos da base de \mathbb{R}^2. Definimos
\mathbf{a}=T(1,0)=\begin{pmatrix}a_1\a_2\a_3\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=T(0,1)=\begin{pmatrix}b_1\b_2\b_3\end{pmatrix}.
A matriz A que queremos tem as colunas exatamente \mathbf{a} e \mathbf{b}, ou seja,
A=\begin{pmatrix}a_1 & b_1\\\ a_2 & b_2\\\ a_3 & b_3\end{pmatrix}.
Explicação curta do porquê: para qualquer (x,y) vale T(x,y)=xT(1,0)+yT(0,1)=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}, que é a multiplicação matricial A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos as duas informações dadas para obter um sistema linear para \mathbf{a} e \mathbf{b}. Como (1,2)=1\cdot(1,0)+2\cdot(0,1), temos
\mathbf{a}+2\mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix}.
Como (2,3)=2\cdot(1,0)+3\cdot(0,1), temos
2\mathbf{a}+3\mathbf{b}=\begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix}.
Isso equivale a três sistemas independentes (um para cada componente). Escrevendo componente a componente:
\begin{cases} a_1+2b_1=1,\\[4pt] 2a_1+3b_1=-2, \end{cases} \qquad \begin{cases} a_2+2b_2=-1,\\[4pt] 2a_2+3b_2=-3, \end{cases} \qquad \begin{cases} a_3+2b_3=2,\\[4pt] 2a_3+3b_3=2. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o primeiro par (componentes da primeira linha) passo a passo. Do sistema
\begin{cases} a_1+2b_1=1,\\\\ 2a_1+3b_1=-2, \end{cases}
multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos a segunda:
\begin{aligned} 2(a_1+2b_1)&=2\quad\Rightarrow\quad 2a_1+4b_1=2,\\\ (2a_1+4b_1)-(2a_1+3b_1)&=2-(-2)\quad\Rightarrow\quad b_1=4. \end{aligned}
Com b_1=4, voltamos em a_1+2b_1=1:
a_1+2\cdot 4=1\quad\Rightarrow\quad a_1+8=1\quad\Rightarrow\quad a_1=-7.

Passo 5

Agora o segundo par (segunda linha da matriz). Do sistema
\begin{cases} a_2+2b_2=-1,\\\\ 2a_2+3b_2=-3, \end{cases}
procedemos do mesmo modo: multiplicando a primeira por 2 obtemos 2a_2+4b_2=-2. Subtraindo a segunda:
(2a_2+4b_2)-(2a_2+3b_2)=-2-(-3)\quad\Rightarrow\quad b_2=1.
Com b_2=1, da primeira equação:
a_2+2\cdot 1=-1\quad\Rightarrow\quad a_2+2=-1\quad\Rightarrow\quad a_2=-3.

Passo 6

Terceiro par (terceira linha). Do sistema
\begin{cases} a_3+2b_3=2,\\\\ 2a_3+3b_3=2, \end{cases}
multiplicando a primeira por 2 2a_3+4b_3=4. Subtraindo a segunda:
(2a_3+4b_3)-(2a_3+3b_3)=4-2\quad\Rightarrow\quad b_3=2.
Com b_3=2, da primeira equação:
a_3+2\cdot 2=2\quad\Rightarrow\quad a_3+4=2\quad\Rightarrow\quad a_3=-2.

Passo 7

Agora juntamos tudo: as colunas de A são \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)^\top e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3)^\top. Substituindo os valores que encontramos:
A=\begin{pmatrix} -7 & 4\\[4pt] -3 & 1\\[4pt] -2 & 2 \end{pmatrix}.
A entrada a_{21} é a entrada na segunda linha e primeira coluna da matriz acima (ou seja, o segundo componente de \mathbf{a}).]

Resposta

(A) -3

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