Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfax: T(1,2)=(1,-1,2) e T(2,3)=(-2,-3,2).
Determine a matriz A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{21} da matriz A vale
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e informa dois valores:
T(1,2)= (1,-1,2)
e
T(2,3)= (-2,-3,2).
A tarefa é determinar a matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
e, em particular, achar o valor da entrada a_{21} (segunda linha, primeira coluna) dessa matriz. Aqui estão todas as informações relevantes do enunciado listadas claramente:
Dados: T(1,2)=(1,-1,2) e T(2,3)=(-2,-3,2).
Pedido: encontrar a matriz A de dimensão 3\times2 que representa T e, a partir dela, o valor de a_{21}.
Passo 2
Como T é linear, é útil escrever A em termos das imagens dos vetores canônicos da base de \mathbb{R}^2. Definimos
Explicação curta do porquê: para qualquer (x,y) vale T(x,y)=xT(1,0)+yT(0,1)=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}, que é a multiplicação matricial A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Passo 3
Usamos as duas informações dadas para obter um sistema linear para \mathbf{a} e \mathbf{b}. Como (1,2)=1\cdot(1,0)+2\cdot(0,1), temos