Considere duas urnas. A primeira contém duas bolas brancas e sete bolas pretas e a segunda contém cinco bolas brancas e seis pretas. Nós lançamos uma moeda e retiramos uma bola da primeira ou da segunda urna, dependendo do resultado do lançamento, isto é, cara (urna 1) ou coroa (urna 2). Qual é a probabilidade condicional de que o resultado do lançamento da moeda foi cara, dado que uma bola branca foi retirada? (R: 22/67)

Passo 1

Beleza, temos um probleminha de probabilidade condicional. O enunciado diz que jogamos uma moeda e, se sair cara, pegamos uma bola da urna 1 (que tem 2 brancas e 7 pretas); se sair coroa, pegamos da urna 2 (5 brancas e 6 pretas). A pergunta é: “Qual a probabilidade de a moeda ter dado cara, sabendo que a bola que saiu é branca?”
Conteúdo: probabilidade condicional e regra da probabilidade total (ou Teorema de Bayes). Precisamos entender:
  • Evento A = “moeda deu cara”
  • Evento B = “bola branca”
  • P(A|B) = probabilidade de A sabendo B = P(A∩B)/P(B)
  • P(B) a gente calcula pela soma ponderada: P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·P(¬A)

Passo 2

Definindo probabilidades simples:
  1. P(A) = probabilidade de dar cara = 1/2
  2. P(¬A) = probabilidade de dar coroa = 1/2
  3. P(B|A) = probabilidade de tirar branca da urna 1 =
  4. P(B|¬A) = probabilidade de tirar branca da urna 2 =

Passo 3

Agora calculamos P(B) usando a regra da probabilidade total:
P(B) = P(B|A),P(A) + P(B|¬A),P(¬A) = 29cdot12 + 511cdot12 = 19 + 522
Para somar 19 = 22198, 522 = 45198, , vamos ao denominador comum 198:
P(B) = 22198 + 45198 = 67198
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Passo 4

Finalmente, aplicamos a definição de probabilidade condicional (Teorema de Bayes simples):
P(Amid B) = P(Acap B)P(B) = P(Bmid A),P(A)P(B) = 29cdot12 67198 = 1967198 = 19times19867 = 198603 = 2267

Resposta

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