Considere duas urnas. A primeira contém duas bolas brancas e sete bolas pretas e a segunda contém cinco bolas brancas e seis pretas. Nós lançamos uma moeda e retiramos uma bola da primeira ou da segunda urna, dependendo do resultado do lançamento, isto é, cara (urna 1) ou coroa (urna 2). Qual é a probabilidade condicional de que o resultado do lançamento da moeda foi cara, dado que uma bola branca foi retirada? (R: 22/67)
Passo 1
Beleza, temos um probleminha de probabilidade condicional. O enunciado diz que jogamos uma moeda e, se sair cara, pegamos uma bola da urna 1 (que tem 2 brancas e 7 pretas); se sair coroa, pegamos da urna 2 (5 brancas e 6 pretas). A pergunta é: “Qual a probabilidade de a moeda ter dado cara, sabendo que a bola que saiu é branca?”
Conteúdo: probabilidade condicional e regra da probabilidade total (ou Teorema de Bayes). Precisamos entender:
Conteúdo: probabilidade condicional e regra da probabilidade total (ou Teorema de Bayes). Precisamos entender:
- Evento A = “moeda deu cara”
- Evento B = “bola branca”
- P(A|B) = probabilidade de A sabendo B = P(A∩B)/P(B)
- P(B) a gente calcula pela soma ponderada: P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·P(¬A)
Passo 2
Definindo probabilidades simples:
- P(A) = probabilidade de dar cara = 1/2
- P(¬A) = probabilidade de dar coroa = 1/2
- P(B|A) = probabilidade de tirar branca da urna 1 =
- P(B|¬A) = probabilidade de tirar branca da urna 2 =
Passo 3
Agora calculamos P(B) usando a regra da probabilidade total:
Para somar
, vamos ao denominador comum 198:
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Passo 4
Finalmente, aplicamos a definição de probabilidade condicional (Teorema de Bayes simples):