Suponha que um fabricante de sorvetes receba
de todo o leite que utiliza de uma fazenda
de outra fazenda
e
de
. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que
do leite produzido por
estava adulterado por adição de água, enquanto que para
e
, essa proporção era de
e
, respectivamente. Em uma indústria de sorvetes, os galões são armazenados em um refrigerador sem qualquer identificação das fazendas. Um galão de leite foi escolhido aleatoriamente e verificou-se que estava adulterado. Qual a probabilidade de que o leite tenha sido fornecido pela fazenda:
? (R: 0,615
Passo 1
Beleza, olha o que o exercício diz: temos um fabricante de sorvete que compra leite de três fazendas –
(20% do leite total),
(30%) e
(50%). Na fiscalização viram que desses leites, 20% do que vem de
tá adulterado, 5% de
e 2% de
. A gente pegou um galão aleatório, viu que ele tá adulterado, e quer saber: qual a chance (probabilidade) de ter vindo da fazenda
?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar:
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar:
- Probabilidade de escolher cada fazenda (
). - Probabilidade de estar adulterado dado cada fazenda (
). - Calcular a probabilidade total de adulteração (
). - Aplicar Bayes para achar
.
Passo 2
Primeiro, anota as probabilidades básicas:
E as probabilidades de adulterado dado a fazenda:
E as probabilidades de adulterado dado a fazenda:
Passo 3
Agora precisamos da probabilidade total de o galão estar adulterado,
. A gente usa a Regra da Probabilidade Total:
Substituindo:
Passo 4
Pra achar a probabilidade de ter vindo de
sabendo que o leite tá adulterado, a gente usa o Teorema de Bayes:
Botando os números:
Resposta
A probabilidade de o leite adulterado ter vindo da fazenda
é aproximadamente 0,615.