Suponha que um fabricante de sorvetes receba 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de outra fazenda F2 e 50% de F3. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20% do leite produzido por F1 estava adulterado por adição de água, enquanto que para F2 e F3, essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Em uma indústria de sorvetes, os galões são armazenados em um refrigerador sem qualquer identificação das fazendas. Um galão de leite foi escolhido aleatoriamente e verificou-se que estava adulterado. Qual a probabilidade de que o leite tenha sido fornecido pela fazenda:
F1 ? (R: 0,615 )

Passo 1

Beleza, olha o que o exercício diz: temos um fabricante de sorvete que compra leite de três fazendas – (20% do leite total), (30%) e (50%). Na fiscalização viram que desses leites, 20% do que vem de tá adulterado, 5% de e 2% de . A gente pegou um galão aleatório, viu que ele tá adulterado, e quer saber: qual a chance (probabilidade) de ter vindo da fazenda ?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar:
  • Probabilidade de escolher cada fazenda ( ).
  • Probabilidade de estar adulterado dado cada fazenda ( ).
  • Calcular a probabilidade total de adulteração ( ).
  • Aplicar Bayes para achar .

Passo 2

Primeiro, anota as probabilidades básicas:



E as probabilidades de adulterado dado a fazenda:


Passo 3

Agora precisamos da probabilidade total de o galão estar adulterado, P(A) = P(F1),P(A|F1) + P(F2),P(A|F2) + P(F3),P(A|F3) . A gente usa a Regra da Probabilidade Total:
P(A) = 0,20 times 0,20 + 0,30 times 0,05 + 0,50 times 0,02
Substituindo:
P(A) = 0,04 + 0,015 + 0,01 = 0,065

Passo 4

Pra achar a probabilidade de ter vindo de P(F1|A) = P(F1),P(A|F1)P(A) sabendo que o leite tá adulterado, a gente usa o Teorema de Bayes:
P(F1|A) = 0,20 times 0,200,065 = 0,040,065 approx 0,6154
Botando os números:

Resposta

A probabilidade de o leite adulterado ter vindo da fazenda é aproximadamente 0,615.

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