Suponha que um fabricante de sorvetes receba 20% de todo o leite que utiliza de uma fazenda F1, 30% de outra fazenda F2 e 50% de F3. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que 20% do leite produzido por F1 estava adulterado por adição de água, enquanto que para F2 e F3, essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Em uma indústria de sorvetes, os galões são armazenados em um refrigerador sem qualquer identificação das fazendas. Um galão de leite foi escolhido aleatoriamente e verificou-se que estava adulterado. Qual a probabilidade de que o leite tenha sido fornecido pela fazenda:
F3 ? (R: 0,154 ).

Passo 1

Beleza, o exercício é o seguinte: uma sorveteria pega leite de três fazendas — 20% de F₁, 30% de F₂ e 50% de F₃. Dessas fazendas, uma parte do leite é adulterada (com água): 20% em F₁, 5% em F₂ e 2% em F₃. A gente pega um galão aleatório do refrigerador e descobre que ele está adulterado. A pergunta é: qual a probabilidade de que esse leite venha de F₃?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é probabilidade condicional.
  • Montar a fórmula de Bayes para achar P(F₃|adulterado).

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
A = “o galão está adulterado”
F₁, F₂, F₃ = “o galão veio da fazenda F₁, F₂ ou F₃”, respectivamente
Daí temos as probabilidades que o exercício deu:
P(F₁) = 0.20, P(F₂) = 0.30, P(F₃) = 0.50
P(A|F₁) = 0.20, P(A|F₂) = 0.05, P(A|F₃) = 0.02

Passo 3

Antes de usar Bayes, precisamos de P(A), a probabilidade do galão ser adulterado em geral.
P(A) = P(A∩F₁) + P(A∩F₂) + P(A∩F₃)
Mas P(A∩Fᵢ) = P(A|Fᵢ)·P(Fᵢ), então:
P(A) = P(A|F₁)P(F₁) + P(A|F₂)P(F₂) + P(A|F₃)P(F₃)
Substituindo números:
P(A) = 0.20cdot0.20 + 0.05cdot0.30 + 0.02cdot0.50 = 0.04 + 0.015 + 0.01 = 0.065

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para achar P(F₃|A):
P(F₃|A) = P(A|F₃),P(F₃)P(A)
Substituindo:
P(F₃|A) = 0.02 times 0.500.065 = 0.010.065 approx 0.1538

Resposta

A probabilidade de que o leite adulterado seja da fazenda F₃ é aproximadamente (15,4%).

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