Suponha que um fabricante de sorvetes receba
de todo o leite que utiliza de uma fazenda
de outra fazenda
e
de
. Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e observou que
do leite produzido por
estava adulterado por adição de água, enquanto que para
e
, essa proporção era de
e
, respectivamente. Em uma indústria de sorvetes, os galões são armazenados em um refrigerador sem qualquer identificação das fazendas. Um galão de leite foi escolhido aleatoriamente e verificou-se que estava adulterado. Qual a probabilidade de que o leite tenha sido fornecido pela fazenda:
? (R: 0,154 ).
Passo 1
Beleza, o exercício é o seguinte: uma sorveteria pega leite de três fazendas — 20% de F₁, 30% de F₂ e 50% de F₃. Dessas fazendas, uma parte do leite é adulterada (com água): 20% em F₁, 5% em F₂ e 2% em F₃. A gente pega um galão aleatório do refrigerador e descobre que ele está adulterado. A pergunta é: qual a probabilidade de que esse leite venha de F₃?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Entender o que é probabilidade condicional.
- Montar a fórmula de Bayes para achar P(F₃|adulterado).
Passo 2
Primeiro, vamos definir os eventos:
A = “o galão está adulterado”
F₁, F₂, F₃ = “o galão veio da fazenda F₁, F₂ ou F₃”, respectivamente
A = “o galão está adulterado”
F₁, F₂, F₃ = “o galão veio da fazenda F₁, F₂ ou F₃”, respectivamente
Daí temos as probabilidades que o exercício deu:
P(F₁) = 0.20, P(F₂) = 0.30, P(F₃) = 0.50
P(A|F₁) = 0.20, P(A|F₂) = 0.05, P(A|F₃) = 0.02
P(F₁) = 0.20, P(F₂) = 0.30, P(F₃) = 0.50
P(A|F₁) = 0.20, P(A|F₂) = 0.05, P(A|F₃) = 0.02
Passo 3
Antes de usar Bayes, precisamos de P(A), a probabilidade do galão ser adulterado em geral.
P(A) = P(A∩F₁) + P(A∩F₂) + P(A∩F₃)
Mas P(A∩Fᵢ) = P(A|Fᵢ)·P(Fᵢ), então:
P(A) = P(A∩F₁) + P(A∩F₂) + P(A∩F₃)
Mas P(A∩Fᵢ) = P(A|Fᵢ)·P(Fᵢ), então:
Substituindo números:
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema de Bayes para achar P(F₃|A):
Substituindo:
Resposta
A probabilidade de que o leite adulterado seja da fazenda F₃ é aproximadamente
(15,4%).