Considere duas variáveis aleatórias X e Y com coeficiente de correlação r_{X Y}.
Mostre que a correlação não se altera se adicionarmos constantes às variáveis, isto é,
r(X, Y)=r(X+a, Y+b)
para quaisquer constantes a e b.

Passo 1

O enunciado dá duas variáveis aleatórias X e Y e o coeficiente de correlação entre elas, denotado por r(X,Y). Pede-se para mostrar que essa correlação não muda se adicionarmos constantes a e b às variáveis, ou seja, provar que
r(X,Y)=r(X+a,Y+b)
para quaisquer constantes a e b.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há duas variáveis aleatórias X e Y.
  • São dadas constantes arbitrárias a e b.
  • O que se pede: provar a igualdade acima (invariância da correlação por translação).

Passo 2

Definições e notação que vamos usar (explicando devagar):
  • A esperança (valor esperado) de uma variável X será denotada por \mu_X = E[X]. Isso é a “média” de X.
  • A variância de X é a medida de dispersão em torno da média e é definida por
\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-\mu_X)^2\big].
  • A covariância entre X e Y mede como elas variam juntas e é definida por
\operatorname{Cov}(X,Y)=E\big[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\big],
onde \mu_Y=E[Y].
  • O coeficiente de correlação de Pearson é então
r(X,Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\,\operatorname{Var}(Y)}}.
Comentário didático rápido: a correlação é a covariância normalizada para ficar entre -1 e 1; se variância ou covariância mudarem por uma mesma escala, o quociente pode mudar, por isso vamos verificar exatamente o que acontece quando somamos constantes.

Passo 3

Propriedades simples de esperança (que usaremos):
  • A esperança é linear, isto é, para constante a vale
E[X+a]=E[X]+a=\mu_X+a.
Portanto a média de X+a é \mu_X+a. Analogamente, E[Y+b]=\mu_Y+b.
Essas identidades são fáceis de ver: E[X+a]=E[X]+E[a]=E[X]+a porque E[a]=a para constante.

Passo 4

Mostrar que a covariância não muda quando somamos constantes. Calculemos \operatorname{Cov}(X+a,Y+b) passo a passo:
\operatorname{Cov}(X+a,Y+b) =E\big[(X+a-E[X+a])\,(Y+b-E[Y+b])\big].
Usando E[X+a]=\mu_X+a e E[Y+b]=\mu_Y+b (do passo anterior), os parênteses ficam:
X+a-E[X+a]=X+a-(\mu_X+a)=X-\mu_X,
Y+b-E[Y+b]=Y+b-(\mu_Y+b)=Y-\mu_Y.
Substituindo de volta,
\operatorname{Cov}(X+a,Y+b)=E\big[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\big]=\operatorname{Cov}(X,Y).
Ou seja, a covariância é invariante por soma de constantes.

Passo 5

Mostrar que as variâncias também não mudam quando somamos constantes. Calculemos \operatorname{Var}(X+a):
\operatorname{Var}(X+a)=E\big[(X+a-E[X+a])^2\big].
Como antes X+a-E[X+a]=X-\mu_X, temos
\operatorname{Var}(X+a)=E\big[(X-\mu_X)^2\big]=\operatorname{Var}(X).
Analogamente \operatorname{Var}(Y+b)=\operatorname{Var}(Y). Logo as variâncias são inalteradas por translação.

Passo 6

Combinar os resultados para a correlação. Pela definição,
r(X+a,Y+b)=\frac{\operatorname{Cov}(X+a,Y+b)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X+a)\,\operatorname{Var}(Y+b)}}.
Usando os resultados dos passos 4 e 5:
\operatorname{Cov}(X+a,Y+b)=\operatorname{Cov}(X,Y), \qquad \operatorname{Var}(X+a)=\operatorname{Var}(X), \qquad \operatorname{Var}(Y+b)=\operatorname{Var}(Y).
Portanto
r(X+a,Y+b)=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\,\operatorname{Var}(Y)}}=r(X,Y).
Intuitivamente: somar uma constante desloca as médias, mas não altera como as variáveis flutuam em relação às suas médias; por isso nem covariância nem variâncias mudam, e a correlação tampouco.

Resposta

r(X,Y)=r(X+a,Y+b)

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