Considere duas variáveis aleatórias
e
com coeficiente de correlação
.
Mostre que a correlação não se altera se adicionarmos constantes às variáveis, isto é,
para quaisquer constantes
e
.
Mostre que a correlação não se altera se adicionarmos constantes às variáveis, isto é,
Passo 1
O enunciado dá duas variáveis aleatórias
e
e o coeficiente de correlação entre elas, denotado por
. Pede-se para mostrar que essa correlação não muda se adicionarmos constantes
e
às variáveis, ou seja, provar que
para quaisquer constantes
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- Há duas variáveis aleatórias
e . - São dadas constantes arbitrárias
e . - O que se pede: provar a igualdade acima (invariância da correlação por translação).
Passo 2
Definições e notação que vamos usar (explicando devagar):
- A esperança (valor esperado) de uma variável
será denotada por . Isso é a “média” de . - A variância de
é a medida de dispersão em torno da média e é definida por
- A covariância entre
e mede como elas variam juntas e é definida por
onde
.
- O coeficiente de correlação de Pearson é então
Comentário didático rápido: a correlação é a covariância normalizada para ficar entre
e
; se variância ou covariância mudarem por uma mesma escala, o quociente pode mudar, por isso vamos verificar exatamente o que acontece quando somamos constantes.
Passo 3
Propriedades simples de esperança (que usaremos):
- A esperança é linear, isto é, para constante
vale
Portanto a média de
é
. Analogamente,
.
Essas identidades são fáceis de ver:
porque
para constante.
Passo 4
Mostrar que a covariância não muda quando somamos constantes. Calculemos
passo a passo:
Usando
e
(do passo anterior), os parênteses ficam:
Substituindo de volta,
Ou seja, a covariância é invariante por soma de constantes.
Passo 5
Mostrar que as variâncias também não mudam quando somamos constantes. Calculemos
:
Como antes
, temos
Analogamente
. Logo as variâncias são inalteradas por translação.
Passo 6
Combinar os resultados para a correlação. Pela definição,
Usando os resultados dos passos 4 e 5:
Portanto
Intuitivamente: somar uma constante desloca as médias, mas não altera como as variáveis flutuam em relação às suas médias; por isso nem covariância nem variâncias mudam, e a correlação tampouco.