Dada a amostra: 2,3,4,5,7,10,12
a) Determine a média aritmética, geométrica e harmônica;
b) Determine a mediana;
c) Qual é a amplitude total?
d) Determine o desvio médio;
e) Calcule a variância e o desvio padrão.
Passo 1
O enunciado dá a amostra com 7 observações:
2,\;3,\;4,\;5,\;7,\;10,\;12.
As perguntas são:
(a) determinar a média aritmética, a média geométrica e a média harmônica;
(b) determinar a mediana;
(c) qual é a amplitude total;
(d) determinar o desvio médio;
(e) calcular a variância e o desvio padrão.
Informações relevantes fornecidas: a lista completa dos valores (acima) e o tamanho da amostra n=7. A resolução a seguir vai calcular passo a passo cada medida pedida.
Passo 2
Média aritmética. Definição e ideia: a média aritmética é o “centro de massa” dos valores — somam-se todos os dados e divide-se pelo número de observações. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n é o total de observações.
Aplicando na nossa amostra: primeiro a soma dos valores:
\sum_{i=1}^{7} x_i = 2+3+4+5+7+10+12 = 43.
Então
\bar{x}=\frac{43}{7}.
Valor decimal (útil para comparar):
\bar{x}=\frac{43}{7}\approx 6,142857.
Passo 3
Média geométrica. Definição e ideia: a média geométrica é indicada quando se quer uma média multiplicativa — é a raiz enésima do produto dos valores. Fórmula:
G=\left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{1/n},
onde \prod indica produto dos x_i e n é o número de observações.
Aproximação numérica (usando logaritmo ou calculadora mental aproximada):
G\approx 5,185804.
Observação didática: escrever o produto em fatores primo facilita entender de onde vem o número (aqui 100800=2^{6}\cdot3^{2}\cdot5^{2}\cdot7), mas a raiz sétima é normalmente calculada numericamente.
Passo 4
Média harmônica. Definição e ideia: a média harmônica é útil quando a média pondera taxas ou razões; é o inverso da média dos inversos. Fórmula:
Mediana. Definição e ideia: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Como n é ímpar (n=7), a mediana é o elemento de posição \frac{n+1}{2}.
Ordenando (já ordenados): 2,3,4,5,7,10,12. A posição central é \dfrac{7+1}{2}=4, portanto a mediana é o 4.º valor:
\text{mediana} = 5.
Passo 6
Amplitude total. Definição e ideia: amplitude (ou alcance) é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra:
\text{amplitude} = \max(x_i)-\min(x_i).
Aqui \max(x_i)=12 e \min(x_i)=2, então
\text{amplitude}=12-2=10.
Passo 7
Desvio médio (média dos desvios absolutos em relação à média aritmética). Definição e ideia: mede, em média, quanto os valores se afastam (em módulo) da média aritmética. Fórmula:
Variância. Definição e ideia: a variância é a média dos quadrados dos desvios em relação à média; dá uma medida da dispersão que penaliza maiores desvios. Aqui vou usar a definição da variância populacional (divisão por n):
Simplificando dividindo numerador e denominador por 7:
\sigma^2=\frac{580}{49}\approx 11,8367347.
Observação didática: se, em vez da variância populacional, o problema pedisse a variância amostral (usada quando se quer estimar a variância da população a partir de uma amostra), dividiríamos a soma dos quadrados por n-1 em vez de n. Aqui adotei a definição com divisão por n (muito comum em exercícios elementares).
Passo 9
Desvio padrão. Definição e ideia: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, tem a mesma unidade dos dados e facilita interpretação: