Dada a amostra: 2,3,4,5,7,10,12
a) Determine a média aritmética, geométrica e harmônica;
b) Determine a mediana;
c) Qual é a amplitude total?
d) Determine o desvio médio;
e) Calcule a variância e o desvio padrão.

Passo 1

O enunciado dá a amostra com 7 observações:
2,\;3,\;4,\;5,\;7,\;10,\;12.
As perguntas são:
(a) determinar a média aritmética, a média geométrica e a média harmônica;
(b) determinar a mediana;
(c) qual é a amplitude total;
(d) determinar o desvio médio;
(e) calcular a variância e o desvio padrão.
Informações relevantes fornecidas: a lista completa dos valores (acima) e o tamanho da amostra n=7. A resolução a seguir vai calcular passo a passo cada medida pedida.

Passo 2

Média aritmética. Definição e ideia: a média aritmética é o “centro de massa” dos valores — somam-se todos os dados e divide-se pelo número de observações. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n é o total de observações.
Aplicando na nossa amostra: primeiro a soma dos valores:
\sum_{i=1}^{7} x_i = 2+3+4+5+7+10+12 = 43.
Então
\bar{x}=\frac{43}{7}.
Valor decimal (útil para comparar):
\bar{x}=\frac{43}{7}\approx 6,142857.

Passo 3

Média geométrica. Definição e ideia: a média geométrica é indicada quando se quer uma média multiplicativa — é a raiz enésima do produto dos valores. Fórmula:
G=\left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{1/n},
onde \prod indica produto dos x_i e n é o número de observações.
Calcular o produto dos valores:
\prod_{i=1}^{7} x_i = 2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot7\cdot10\cdot12 = 100800.
Portanto
G=\sqrt[7]{100800}.
Aproximação numérica (usando logaritmo ou calculadora mental aproximada):
G\approx 5,185804.
Observação didática: escrever o produto em fatores primo facilita entender de onde vem o número (aqui 100800=2^{6}\cdot3^{2}\cdot5^{2}\cdot7), mas a raiz sétima é normalmente calculada numericamente.

Passo 4

Média harmônica. Definição e ideia: a média harmônica é útil quando a média pondera taxas ou razões; é o inverso da média dos inversos. Fórmula:
H=\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}.
Calcular a soma dos inversos dos dados. Para ser exato, usar um denominador comum 420:
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{7}\frac{1}{x_i} &=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}\\[4pt] &=\frac{210}{420}+\frac{140}{420}+\frac{105}{420}+\frac{84}{420}+\frac{60}{420}+\frac{42}{420}+\frac{35}{420}\\[4pt] &=\frac{676}{420}=\frac{169}{105}\approx 1,6095238. \end{aligned}
Logo
H=\frac{7}{169/105}=\frac{7\cdot105}{169}=\frac{735}{169}.
Valor decimal:
H=\frac{735}{169}\approx 4,349112.]

Passo 5

Mediana. Definição e ideia: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Como n é ímpar ( n=7), a mediana é o elemento de posição \frac{n+1}{2}.
Ordenando (já ordenados): 2,3,4,5,7,10,12. A posição central é \dfrac{7+1}{2}=4, portanto a mediana é o 4.º valor:
\text{mediana} = 5.

Passo 6

Amplitude total. Definição e ideia: amplitude (ou alcance) é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra:
\text{amplitude} = \max(x_i)-\min(x_i).
Aqui \max(x_i)=12 e \min(x_i)=2, então
\text{amplitude}=12-2=10.

Passo 7

Desvio médio (média dos desvios absolutos em relação à média aritmética). Definição e ideia: mede, em média, quanto os valores se afastam (em módulo) da média aritmética. Fórmula:
\text{desvio médio} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \left|x_i-\bar{x}\right|.é
Usamos \bar{x}=\dfrac{43}{7}. Calcular os desvios absolutos (mostrando em frações para exatidão):
\begin{aligned} |2-\bar{x}|&=\left|2-\frac{43}{7}\right|=\frac{29}{7},\\\ |3-\bar{x}|&=\frac{22}{7},\\\ |4-\bar{x}|&=\frac{15}{7},\\\ |5-\bar{x}|&=\frac{8}{7},\\\ |7-\bar{x}|&=\frac{6}{7},\\\ |10-\bar{x}|&=\frac{27}{7},\\\ |12-\bar{x}|&=\frac{41}{7}. \end{aligned}
Soma dos desvios absolutos:
\sum_{i=1}^{7}\left|x_i-\bar{x}\right|=\frac{29+22+15+8+6+27+41}{7}=\frac{148}{7}.
Dividindo por n=7:
\text{desvio médio}=\frac{148/7}{7}=\frac{148}{49}\approx 3,020408.é

Passo 8

Variância. Definição e ideia: a variância é a média dos quadrados dos desvios em relação à média; dá uma medida da dispersão que penaliza maiores desvios. Aqui vou usar a definição da variância populacional (divisão por n):
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
Já temos os desvios em frações \dfrac{\text{algo}}{7}; elevar ao quadrado:
\begin{aligned} (2-\bar{x})^2&=\left(\frac{29}{7}\right)^2=\frac{841}{49},\\\ (3-\bar{x})^2&=\frac{484}{49},\\\ (4-\bar{x})^2&=\frac{225}{49},\\\ (5-\bar{x})^2&=\frac{64}{49},\\\ (7-\bar{x})^2&=\frac{36}{49},\\\ (10-\bar{x})^2&=\frac{729}{49},\\\ (12-\bar{x})^2&=\frac{1681}{49}. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^{7}(x_i-\bar{x})^2=\frac{841+484+225+64+36+729+1681}{49}=\frac{4060}{49}.
Dividindo por n=7:
\sigma^2=\frac{4060/49}{7}=\frac{4060}{343}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 7:
\sigma^2=\frac{580}{49}\approx 11,8367347.
Observação didática: se, em vez da variância populacional, o problema pedisse a variância amostral (usada quando se quer estimar a variância da população a partir de uma amostra), dividiríamos a soma dos quadrados por n-1 em vez de n. Aqui adotei a definição com divisão por n (muito comum em exercícios elementares).

Passo 9

Desvio padrão. Definição e ideia: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, tem a mesma unidade dos dados e facilita interpretação:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}.
Aqui
\sigma=\sqrt{\frac{580}{49}}=\frac{\sqrt{580}}{7}\approx 3,440456.
Interpretação rápida: a maioria dos valores está a pouco mais de 3{,}44 unidades da média aritmética, em termos quadráticos.

Resposta

(a) Média aritmética: \dfrac{43}{7}\approx 6,142857; média geométrica: \sqrt[7]{100800}\approx 5,185804; média harmônica: \dfrac{735}{169}\approx 4,349112
(b) Mediana: 5
(c) Amplitude total: 10
(d) Desvio médio: \dfrac{148}{49}\approx 3,020408
(e) Variância: \dfrac{580}{49}\approx 11,8367347
Desvio padrão: \dfrac{\sqrt{580}}{7}\approx 3,440456

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