Considere o dubleto fino do átomo de sódio associado aos níveis de energia ^2 p3 / 2 e ^2 p1 / 2 (onde estamos omitindo o número quântico principal da camada de valência do sódio, n=3, na notação espectroscópica-padrão, n^2s+1 lj, onde s=1 / 2 para o sódio e l in0(s), 1(p), 2(d), 3(f), 4(g), cdots). Denotemos, como usual, por i, j, f, os números quânticos associados, respectivamente, aos observáveis de spin nuclear, I, de momento angular eletrônico total, J, e de grande momento angular total do átomo, F=I+J. Tem-se pela regra geral de adição de momento angular na mecânica quântica que, f ini+j, i+j-1, cdots,|i-j|.
Sabendo que o spin nuclear do sódio é i=3 / 2, use a regra de adição de momento angular para determinar todos os possíveis níveis de energia de estrutura hiperfina do dubleto fino do átomo de sódio, usando a notação [ ^2s+1 lj]f para rotular adequadamente cada nível hiperfino.

Passo 1

Beleza, vamos colocar o que o exercício pede numa boa. A ideia é:
– A gente tem o “dubleto fino” do sódio, ou seja, os níveis ^2p3/2 e ^2p1/2.
– O sódio tem spin nuclear i=3/2.
– Queremos encontrar todos os possíveis valores de F (que é a soma de vec I com vec J) usando a regra
fin,i+j,;i+j-1,;dots,;|,i-j,|,,
Conteúdo: adição de momento angular em QM, total F=I+J e as regras para os valores possíveis de f.

Passo 2

Antes de mais nada, lembra como funciona a adição de momento angular:
– Se você tem dois momentos, I e J, o total F pode variar de |I-J| até I+J em saltos de 1.
– Em números-quânticos, isso vira exatamente a regra
f=I+J,;I+J-1,;dots,;|I-J|
Aqui I=i é o spin nuclear (já sabemos i=3/2) e J=j é o momento angular eletrô­nico total de cada nível fino.

Passo 3

Vamos aplicar para o nível ^2p3/2:
– Aqui j=3/2.
– Então
fmax=i+j=tfrac32+tfrac32=3, fmin=|,i-j,|=|,tfrac32-tfrac32,|=0
– Os valores possíveis são
fin3,,2,,1,,0
Logo os níveis hiperfinos desse subnível são
l[^2p3/2r]f=3,; l[^2p3/2r]f=2,; l[^2p3/2r]f=1,; l[^2p3/2r]f=0

Passo 4

Agora para ^2p1/2:
– Aqui j=1/2.
– Então
fmax=i+j=tfrac32+tfrac12=2, fmin=|,i-j,|=|tfrac32-tfrac12|=1
– Os valores possíveis são
fin2,,1
Logo os níveis hiperfinos desse subnível são
l[^2p1/2r]f=2,; l[^2p1/2r]f=1

Resposta

Todos os níveis de estrutura hiperfina do dubleto fino do sódio são:
– Para ^2p3/2:
l[^2p3/2r]0,; l[^2p3/2r]1,; l[^2p3/2r]2,; l[^2p3/2r]3,
– Para ^2p1/2:
$$\bigl[{}^{2}p_{1/2}\bigr]_{1},;
\bigl[{}^{2}p_{1/2}\bigr]_{2}\,. $$

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