Determinar a solução das Equações diferenciais lineares de 2^a Ordem a Coeficientes Constantes Homogêneas (equação Característica), dadas a seguir, pelo método Transformada de Laplace.
(d) d^2 yd x^2+4 d yd x+5 y=4 de<a(x-3) para y(0)=1 e d yd x(0)=-3

Passo 1

Resumindo, queremos resolver a EDO linear homogênea de 2ª ordem com termo forçante singular
d^2ydx^2 + 4dydx + 5y = 4,de<a(x-3),
sujeita a y(0)=1 e y'(0)=-3, usando o método da Transformada de Laplace. Precisamos lembrar que
  1. Ly'(x)=sY(s)-y(0), Ly''(x)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0).
  2. Lde<a(x-a)=e^-a s.

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace em cada termo:
Ly'' + 4,Ly' +5,Ly =4,Lde<a(x-3)
Substituindo fórmulas e condições iniciais:
l(s^2Y(s)-scdot1-(-3)r) +4l(sY(s)-1r) +5Y(s) =4,e^-3s

Passo 3

Reunindo termos em Y(s) e constantes:
l(s^2 +4s+5r)Y(s);-;(s-3+4) =4,e^-3s
Como -s+3-4=-s-1, temos
l(s^2+4s+5r)Y(s)-l(s+1r)=4,e^-3s,
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Y(s) =s+1s^2+4s+5 ;+; 4,e^-3ss^2+4s+5

Passo 4

Observamos que
s^2+4s+5=(s+2)^2+1,
e escrevemos
s+1(s+2)^2+1 =(s+2)-1(s+2)^2+1 =s+2(s+2)^2+1-1(s+2)^2+1
Assim separam-se dois termos para inverter:
  1. Y1(s)=s+2(s+2)^2+1-1(s+2)^2+1
  2. Y2(s)=4,e^-3s(s+2)^2+1

Passo 5

Inversão de Y1(s) usando tabelas:
L^-1!ls+2(s+2)^2+1r =e^-2xcos x, L^-1!l1(s+2)^2+1r =e^-2xsin x
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y1(x) =e^-2xcos x ;-;e^-2xsin x =e^-2xl(cos x-sin xr)

Passo 6

Inversão de Y2(s) pelo teorema do atraso:
L^-1!l4(s+2)^2+1r =4,e^-2xsin x,
portanto, com o fator e^-3s, o resultado é
y2(x) =4,e^-2(x-3)sin(x-3);H(x-3),
onde H é a função de Heaviside deslocada em 3.

Passo 7

Somando as duas partes, a solução é
y(x) =e^-2xl(cos x-sin xr) ;+; 4,e^-2(x-3)sin(x-3),H(x-3)

Resposta

boxed y(x) =e^-2xl(cos x-sin xr) +4,e^-2(x-3)sin(x-3),H(x-3)

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