Duas cargas
e
são fixadas nos pontos
e
, respectivamente. Mostre que o fluxo elétrico produzido pelas duas cargas através de um disco de raio
, centrado no ponto
e cujo eixo de simetria coincide com a linha reta que liga as duas cargas, é dado por:
Passo 1
Temos duas cargas pontuais
em
e
em
. Queremos o fluxo do campo elétrico
através de um disco de raio
centrado em
e com eixo ao longo do eixo
. Ou seja, o disco está no plano
e sua normal unitária aponta para
. Vamos usar superposição e coordenadas cilíndricas
no plano do disco para fazer a integral de superfície
Passo 2
Fluxo devido à carga
em
. Num ponto do disco
temos
O campo dessa carga é
e o elemento de área é
. Logo
Integramos
de
a
:
Passo 3
Fazemos a substituição
, de modo que
. Então
Logo
Passo 4
Pela mesma conta para a carga
em
(note que o campo muda de sinal, mas a simetria da integral é a mesma), obtemos
Pela superposição, o fluxo total através do disco é
Se quisermos apenas o valor algébrico do fluxo (ou seja, desprezando o sinal de orientação), tomamos o módulo e reescrevemos:
portanto
que é o resultado pedido.