Duas cargas q1=q e q2=-q são fixadas nos pontos p1=(a, 0) e p2= (-a, 0), respectivamente. Mostre que o fluxo elétrico produzido pelas duas cargas através de um disco de raio R, centrado no ponto c=(0,0) e cujo eixo de simetria coincide com a linha reta que liga as duas cargas, é dado por:
PhiE=qepsilon0[1a-1(a^2+R^2)^1 / 2]

Passo 1

Temos duas cargas pontuais q1=+q em p1=(a,0,0) e q2=-q em p2=(-a,0,0). Queremos o fluxo do campo elétrico
E(r)=14piepsilon0sumi=1^2 qir-pi|r-pi|^3
através de um disco de raio R centrado em (0,0,0) e com eixo ao longo do eixo x. Ou seja, o disco está no plano x=0 e sua normal unitária aponta para +x. Vamos usar superposição e coordenadas cilíndricas (rho,phi) no plano do disco para fazer a integral de superfície
PhiE=integral dupladisco Ecdot dA ,

Passo 2

Fluxo devido à carga +q em p1=(a,0,0). Num ponto do disco (0,rhocosphi,rhosinphi) temos
r-p1 = (-a,;rhocosphi,;rhosinphi), r1=raiza^2+rho^2
O campo dessa carga é
E1 =q4piepsilon0(-a,;rhocosphi,;rhosinphi)(a^2+rho^2)^3/2
e o elemento de área é dA=+x,rho,drho,dphi. Logo
E1cdot dA =q4piepsilon0,-a(a^2+rho^2)^3/2,rho,drho,dphi
Integramos phi de 0 a 2pi:
Phi1 =q4piepsilon0(-a),2pi integral0^Rrho,drho(a^2+rho^2)^3/2 =-q,a2epsilon0integral0^Rrho,drho(a^2+rho^2)^3/2

Passo 3

Fazemos a substituição u=a^2+rho^2, de modo que du=2rho,drho. Então
integral0^Rrho,drho(a^2+rho^2)^3/2 =12integralu=a^2^u=a^2+R^2u^-3/2,du =12l[-2,u^-1/2r]a^2^a^2+R^2 =1a-1raiza^2+R^2
Logo
Phi1 =-q,a2epsilon0l(1a-1raiza^2+R^2r) =-q2epsilon0l(1-araiza^2+R^2r)

Passo 4

Pela mesma conta para a carga -q em p2=(-a,0,0) (note que o campo muda de sinal, mas a simetria da integral é a mesma), obtemos
Phi2 =-q2epsilon0l(1-araiza^2+R^2r)
Pela superposição, o fluxo total através do disco é
PhiE=Phi1+Phi2 =-qepsilon0l(1-araiza^2+R^2r)
Se quisermos apenas o valor algébrico do fluxo (ou seja, desprezando o sinal de orientação), tomamos o módulo e reescrevemos:
1-araiza^2+R^2 = al(1a-1raiza^2+R^2r),
portanto
PhiE =qepsilon0l[1a-1raiza^2+R^2r],
que é o resultado pedido.

Resposta

PhiE =qepsilon0l[1a-1raiza^2+R^2r]

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