Sejam x e y dois vetores não nulos do \mathbb{R}^{n}. Mostre que a projeção ortogonal x_{\|}de x em y é dada por
x_{\|}=\frac{\langle x, y\rangle}{\langle y, y\rangle} y
Considere agora x=(1,2,3) e y=(1,0,1). Calcule explicitamente a projeção de x sobre y. Para esses mesmos vetores, calcule o vetor x_{\perp}=x-x_{\|}e verifique diretamente que \left\langle x_{\perp}, y\right\rangle=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar, para vetores não nulos x,y\in\mathbb{R}^n, que a projeção ortogonal de x sobre y satisfaz
x_{\|}=\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}\,y.
  • Para x=(1,2,3) e y=(1,0,1): calcular explicitamente x_{\|}, calcular x_{\perp}=x-x_{\|} e verificar que \langle x_{\perp},y\rangle=0.
Informações dadas:
  • x e y são vetores não nulos em \mathbb{R}^n.
  • Produto interno padrão será usado, denotado por \langle \cdot,\cdot\rangle.
  • Valores numéricos: x=(1,2,3), y=(1,0,1).

Passo 2

O que é projeção ortogonal (intuição e definição usada aqui).
  • A projeção ortogonal de x sobre y é o componente de x que aponta na direção de y. Geometricamente, decompomos x em duas partes:
x = x_{\|} + x_{\perp},
onde x_{\|} é paralelo a y (ou seja, pertence ao subespaço \operatorname{span}\{y\}) e x_{\perp} é ortogonal a y (ou seja, \langle x_{\perp},y\rangle=0). Essa decomposição é única porque \operatorname{span}\{y\} e seu ortogonal formam uma soma direta.
  • Propriedades do produto interno que usaremos:
    • Linearidade na primeira componente: \langle a u + b v, w\rangle = a\langle u,w\rangle + b\langle v,w\rangle.
    • Simetria: \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.
    • Positividade: \langle v,v\rangle>0 para v\neq 0.

Passo 3

Modelo matemático para a projeção.
  • Como x_{\|} está na direção de y, existe um escalar \alpha\in\mathbb{R} tal que
x_{\|}=\alpha y.
  • Substituindo na decomposição x=x_{\|}+x_{\perp} obtemos
x=\alpha y + x_{\perp},
com a condição adicional \langle x_{\perp},y\rangle=0.

Passo 4

Determinar \alpha usando produto interno.
  • Tome o produto interno com y em ambos os lados da igualdade x=\alpha y + x_{\perp}. Pela linearidade,
\langle x,y\rangle = \langle \alpha y + x_{\perp},\,y\rangle = \alpha\langle y,y\rangle + \langle x_{\perp},y\rangle.
  • Pelo requisito de ortogonalidade temos \langle x_{\perp},y\rangle=0. Assim sobra
\langle x,y\rangle = \alpha \langle y,y\rangle.
  • Como y\neq 0 implica \langle y,y\rangle\neq 0, podemos resolver para \alpha:
\alpha = \frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}.

Passo 5

Concluir a fórmula da projeção.
  • Substituindo \alpha em x_{\|}=\alpha y obtemos a expressão desejada:
x_{\|}=\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}\,y.
Isso conclui a demonstração geral.

Passo 6

Agora calculando os produtos internos para os vetores dados.
  • Para x=(1,2,3) e y=(1,0,1) o produto interno padrão é a soma dos produtos coordenada a coordenada. Então:
\langle x,y\rangle = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 3\cdot 1 = 1+0+3 = 4.
\langle y,y\rangle = 1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1+0+1 = 2.

Passo 7

Calcular x_{\|} explicitamente.
  • Usando a fórmula \displaystyle x_{\|}=\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}\,y com os valores encontrados:
\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}=\frac{4}{2}=2.
  • Portanto
x_{\|}=2\,y = 2\,(1,0,1) = (2,0,2).

Passo 8

Calcular x_{\perp}=x-x_{\|}.
  • Subtraindo coordenada a coordenada:
x_{\perp}=x-x_{\|}=(1,2,3)-(2,0,2)=(1-2,\,2-0,\,3-2)=(-1,2,1).

Passo 9

Verificar que \langle x_{\perp},y\rangle=0.
  • Calcule o produto interno:
\langle x_{\perp},y\rangle = (-1)\cdot 1 + 2\cdot 0 + 1\cdot 1 = -1 + 0 + 1 = 0.
  • Achamos exatamente zero, o que confirma que x_{\perp} é ortogonal a y, como esperado.

Resposta

x_{\|}=(2,0,2)
x_{\perp}=(-1,2,1)
\langle x_{\perp},y\rangle=0

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