Sejam
e
dois vetores não nulos do
. Mostre que a projeção ortogonal
de
em
é dada por
Considere agora
e
. Calcule explicitamente a projeção de
sobre
. Para esses mesmos vetores, calcule o vetor
e verifique diretamente que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar, para vetores não nulos
, que a projeção ortogonal de sobre satisfaz
- Para
e : calcular explicitamente , calcular e verificar que .
Informações dadas:
-
e são vetores não nulos em . - Produto interno padrão será usado, denotado por
. - Valores numéricos:
, .
Passo 2
O que é projeção ortogonal (intuição e definição usada aqui).
- A projeção ortogonal de
sobre é o componente de que aponta na direção de . Geometricamente, decompomos em duas partes:
onde
é paralelo a
(ou seja, pertence ao subespaço
) e
é ortogonal a
(ou seja,
). Essa decomposição é única porque
e seu ortogonal formam uma soma direta.
- Propriedades do produto interno que usaremos:
- Linearidade na primeira componente:
. - Simetria:
. - Positividade:
para .
- Linearidade na primeira componente:
Passo 3
Modelo matemático para a projeção.
- Como
está na direção de , existe um escalar tal que
- Substituindo na decomposição
obtemos
com a condição adicional
.
Passo 4
Determinar
usando produto interno.
- Tome o produto interno com
em ambos os lados da igualdade . Pela linearidade,
- Pelo requisito de ortogonalidade temos
. Assim sobra
- Como
implica , podemos resolver para :
Passo 5
Concluir a fórmula da projeção.
- Substituindo
em obtemos a expressão desejada:
Isso conclui a demonstração geral.
Passo 6
Agora calculando os produtos internos para os vetores dados.
- Para
e o produto interno padrão é a soma dos produtos coordenada a coordenada. Então:
Passo 7
Calcular
explicitamente.
- Usando a fórmula
com os valores encontrados:
- Portanto
Passo 8
Calcular
.
- Subtraindo coordenada a coordenada:
Passo 9
Verificar que
.
- Calcule o produto interno:
- Achamos exatamente zero, o que confirma que
é ortogonal a , como esperado.