Considere a EDO(x^2+1) y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0. Encontre a solução desta EDO usando série polinomial, em torno do ponto singular x=0. Defina quais são as duas soluções linearmente independentes, conforme formato abaixo.
Série polinomial (1.5)
& y=sumn=0^infty an x^n=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3+a4 x^4+a5 x^5+a6 x^6+a7 x^7+ldots & y1=? & y2=? & y=c1 y1+c2 y2=?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
(x^2+1) y'' - 4x y' + 6y = 0
O objetivo é encontrar a solução dessa EDO usando séries polinomiais em torno do ponto singular . Para isso, vamos precisar entender como expandir , e em séries de potências de e igualar os coeficientes para encontrar os termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y = sumn=0^infty an x^n = a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + dots pode ser escrita como uma série infinita em potências de y' = sumn=1^infty n an x^n-1 = a1 + 2 a2 x + 3 a3 x^2 + dots :
y'' = sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 = 2 a2 + 6 a3 x + 12 a4 x^2 + dots
Agora, precisamos calcular as derivadas dessa série para substituir na EDO. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 3

Agora, vamos substituir (x^2+1) y'' - 4x y' + 6y = 0 , (x^2+1) ( sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 ) - 4x ( sumn=1^infty n an x^n-1 ) + 6 ( sumn=0^infty an x^n ) = 0 e sumn=2^infty n (n-1) an x^n + sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 - 4 sumn=1^infty n an x^n + 6 sumn=0^infty an x^n = 0 na EDO original:
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n
Substituindo as séries:
sumn=2^infty n (n-1) an x^n + sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n - 4 sumn=1^infty n an x^n + 6 sumn=0^infty an x^n = 0
Vamos distribuir na série de :
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham :
  1. Na segunda soma, substituímos por :
  1. Nas outras somas, mantemos como está.
Então, a equação fica:

Passo 4

Para resolver essa equação, precisamos igualar os coeficientes de cada potência de sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 + (terms from other sums) ] x^n = 0 a zero. Vamos escrever todos os termos com sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 + 0 - 4n an + 6 an ] x^n = 0 :
(n+2)(n+1) an+2 + (-4n + 6) an = 0
Organizando todos os termos dentro da soma:
an+2 = (4n - 6)(n+2)(n+1) an
Note que os termos que não dependem de foram ajustados para ter o mesmo índice . Assim, temos a relação de recorrência:
Isolando :

Passo 5

Agora, vamos usar essa relação de recorrência para encontrar os coeficientes da série a2 = (0 cdot 4 - 6)(2)(1) a0 = -62 a0 = -3 a0 . Precisamos começar com valores iniciais, que são a3 = (1 cdot 4 - 6)(3)(2) a1 = -26 a1 = -13 a1 e a4 = (2 cdot 4 - 6)(4)(3) a2 = 212 a2 = 16 a2 = 16 (-3 a0) = -12 a0 . Esses serão os termos livres que determinam as duas soluções linearmente independentes.
Vamos calcular alguns termos para entender o padrão:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
E assim por diante. Observamos que cada coeficiente depende do anterior com um fator constante.

Passo 6

Com essa relação de recorrência, podemos construir duas séries diferentes:
  1. Primeira solução ( y1 = a0 + a2 x^2 + a4 x^4 + a6 x^6 + dots ): Escolhemos y1 = 1 - 3x^2 - 12x^4 + dots e y2 = a1 x + a3 x^3 + a5 x^5 + dots . Isso gera uma série apenas com termos de y2 = x - 13x^3 + dots , , , etc.
  2. Segunda solução ( ): Escolhemos e . Isso gera uma série apenas com termos de , , , etc.
Vamos escrever as duas soluções:
  • Para :
Com :
  • Para :
Com :

Resposta

As duas soluções linearmente independentes são:
& y1 = 1 - 3x^2 - 12x^4 + dots & y2 = x - 13x^3 + dots & y = c1 y1 + c2 y2 = c1 (1 - 3x^2 - 12x^4 + dots) + c2 (x - 13x^3 + dots)

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