Considere a
. Encontre a solução desta EDO usando série polinomial, em torno do ponto singular
. Defina quais são as duas soluções linearmente independentes, conforme formato abaixo.
Série polinomial (1.5)
Série polinomial (1.5)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
O objetivo é encontrar a solução dessa EDO usando séries polinomiais em torno do ponto singular
. Para isso, vamos precisar entender como expandir
,
e
em séries de potências de
e igualar os coeficientes para encontrar os termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série infinita em potências de
:
Agora, precisamos calcular as derivadas dessa série para substituir na EDO. A primeira derivada
é:
E a segunda derivada
é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na EDO original:
Substituindo as séries:
Vamos distribuir
na série de
:
Para simplificar, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham
:
- Na segunda soma, substituímos
por :
- Nas outras somas, mantemos
como está.
Então, a equação fica:
Passo 4
Para resolver essa equação, precisamos igualar os coeficientes de cada potência de
a zero. Vamos escrever todos os termos com
:
Organizando todos os termos dentro da soma:
Note que os termos que não dependem de
foram ajustados para ter o mesmo índice
. Assim, temos a relação de recorrência:
Isolando
:
Passo 5
Agora, vamos usar essa relação de recorrência para encontrar os coeficientes da série
. Precisamos começar com valores iniciais, que são
e
. Esses serão os termos livres que determinam as duas soluções linearmente independentes.
Vamos calcular alguns termos para entender o padrão:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante. Observamos que cada coeficiente depende do anterior com um fator constante.
Passo 6
Com essa relação de recorrência, podemos construir duas séries diferentes:
-
Primeira solução (
): Escolhemos e . Isso gera uma série apenas com termos de , , , etc. -
Segunda solução (
): Escolhemos e . Isso gera uma série apenas com termos de , , , etc.
Vamos escrever as duas soluções:
- Para
:
Com
:
- Para
:
Com
:
Resposta
As duas soluções linearmente independentes são: