Encontre uma solução geral para
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Passo 1
Olha só, a gente precisa encontrar a solução geral de duas EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método clássico: primeiro a solução homogênea (resolvendo a equação característica) e depois uma solução particular via coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a parte homogênea, a equação característica é
. Resolvendo, temos as raízes
e
. Logo, a solução homogênea comum é
Passo 3
Agora, para a equação (1) com
, separamos o RHS em parte polinomial
e exponencial
, e fazemos o ansatz
Passo 4
Para a parte polinomial substituímos em
: como
e
, vem
. Igualando coeficientes,
dá
e
dá
.
Para a parte exponencial, aplicamos o operador em e obtemos
. Como queremos
, basta
.
Assim, a solução geral da equação (1) é a soma de com
.
Para a parte exponencial, aplicamos o operador em
Assim, a solução geral da equação (1) é a soma de
Passo 5
Para a equação (2) com
fazemos o mesmo ansatz
Passo 6
Para a parte polinomial vem
, logo
dá
e
dá
.
Para a exponencial, como e queremos
, obtemos
.
Portanto, a solução geral da equação (2) é a soma de com este
.
Para a exponencial, como
Portanto, a solução geral da equação (2) é a soma de
Resposta
A solução geral da equação 1 é
A solução geral da equação 2 é