Encontre uma solução geral para
  1. y^prime prime+3 y^prime+2 y=3 x+10 e^3 x
  2. y^prime prime+3 y^prime+2 y=-9 x+20 e^3 x

Passo 1

Olha só, a gente precisa encontrar a solução geral de duas EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método clássico: primeiro a solução homogênea (resolvendo a equação característica) e depois uma solução particular via coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea, a equação característica é r^2+3r+2=0. Resolvendo, temos as raízes r=-1 e r=-2. Logo, a solução homogênea comum é
yh(x)=C1e^-x+C2e^-2x

Passo 3

Agora, para a equação (1) com y''+3y'+2y=3x+10e^3x, separamos o RHS em parte polinomial 3x e exponencial 10e^3x, e fazemos o ansatz
yp(x)=px+q+A e^3x

Passo 4

Para a parte polinomial substituímos em y''+3y'+2y: como y''=0 e y'=p, vem 2p x+(3p+2q)=3x. Igualando coeficientes, 2p=3 p=tfrac32 e 3p+2q=0 q=-tfrac94.
Para a parte exponencial, aplicamos o operador em e^3x e obtemos L[e^3x]=(9+9+2)e^3x=20e^3x. Como queremos 10e^3x, basta A=10/20=1/2.
Assim, a solução geral da equação (1) é a soma de yh com yp.

Passo 5

Para a equação (2) com y''+3y'+2y=-9x+20e^3x fazemos o mesmo ansatz
yp(x)=p'x+q'+B e^3x,

Passo 6

Para a parte polinomial vem 2p'x+(3p'+2q')=-9x, logo 2p'=-9 p'=-9/2 e 3p'+2q'=0 q'=27/4.
Para a exponencial, como L[e^3x]=20e^3x e queremos 20e^3x, obtemos B=20/20=1.
Portanto, a solução geral da equação (2) é a soma de yh com este yp.

Resposta

A solução geral da equação 1 é
y(x)=C1e^-x+C2e^-2x+32x-94+12e^3x
A solução geral da equação 2 é
y(x)=C1e^-x+C2e^-2x-92x+274+e^3x

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