Considere a EDO de Bernoulli de ordem 3 dada por:
1 x \frac{d y}{d x}+6 y=x^{\frac{7}{1}} y^{3}
Item 2) Resolva a EDO e encontre o valor da constante k que define a solução que passa pelo ponto P=(x=2, y=1).
Coloque sua reposta aqui: k=

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e o ponto por onde a solução deve passar. Informações fornecidas:
x\frac{dy}{dx}+6y=x^{7}y^{3},
e o ponto inicial P=(x=2,y=1). A tarefa é resolver a EDO e encontrar a constante k que aparece na solução tal que a curva passa por P.

Passo 2

Vamos primeiro colocar a EDO numa forma mais clara dividindo por x (assumindo x\neq0):
\frac{dy}{dx}+\frac{6}{x}y=x^{6}y^{3}.
Isso é uma equação do tipo onde aparece um termo y^{3} multiplicado por função de x. Para resolver, fazemos a substituição padrão que transforma esse tipo de equação numa linear: definimos
u=y^{1-3}=y^{-2}.
Agora precisamos relacionar du/dx com dy/dx. Derivando u=y^{-2} em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original (na forma dividida por x) por -2y^{-3} para usar a expressão de \frac{du}{dx}. Começando por
\frac{dy}{dx}+\frac{6}{x}y=x^{6}y^{3},
multiplicando por -2y^{-3}
-2y^{-3}\frac{dy}{dx}-\frac{12}{x}y^{-2}=-2x^{6}.
Pela definição de u e da derivada, -2y^{-3}\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx} e y^{-2}=u. Então a equação fica linear em u:
\frac{du}{dx}-\frac{12}{x}u=-2x^{6}.

Passo 4

Resolvemos a linear em u usando fator integrante. O coeficiente de u é -\dfrac{12}{x}, então o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{12}{x}\,dx\right)=\exp(-12\ln x)=x^{-12}.
Multiplicando a equação por \mu(x)=x^{-12} obtemos
x^{-12}\frac{du}{dx}-12x^{-13}u=\frac{d}{dx}\big(x^{-12}u\big)=-2x^{-6}.
Integramos ambos os lados em x:
x^{-12}u=\int -2x^{-6}\,dx = -2\cdot\frac{x^{-5}}{-5} + C = \frac{2}{5}x^{-5}+C,
onde C é constante de integração. Isolando u:
u=x^{12}\left(\frac{2}{5}x^{-5}+C\right)=\frac{2}{5}x^{7}+Cx^{12}.

Passo 5

Voltando para y, lembrando u=y^{-2}, temos
y^{-2}=\frac{2}{5}x^{7}+Cx^{12}.
Portanto a solução geral (implícita) é
y=\pm\left(\frac{2}{5}x^{7}+Cx^{12}\right)^{-1/2}.
Agora usamos o ponto inicial P=(2,1) para determinar C. Substituindo x=2 e y=1 na expressão de y^{-2}:
1=y^{-2}\Big|_{(2,1)}=\frac{2}{5}\cdot 2^{7}+C\cdot 2^{12}.

Passo 6

Calculemos os potências de 2: 2^{7}=128 e 2^{12}=4096. Então
1=\frac{2}{5}\cdot 128 + C\cdot 4096 = \frac{256}{5}+4096\,C.
Isolando C:
4096\,C = 1-\frac{256}{5} = \frac{5-256}{5} = -\frac{251}{5}.
Logo
C = -\frac{251}{5\cdot 4096} = -\frac{251}{20480}.

Resposta

k=-\dfrac{251}{20480}

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