Considere a EDO de Bernoulli de ordem 3 dada por: 1 x \frac{d y}{d x}+6 y=x^{\frac{7}{1}} y^{3}
Item 2) Resolva a EDO e encontre o valor da constante k que define a solução que passa pelo ponto P=(x=2, y=1).
Coloque sua reposta aqui: k=
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e o ponto por onde a solução deve passar. Informações fornecidas:
x\frac{dy}{dx}+6y=x^{7}y^{3},
e o ponto inicial P=(x=2,y=1). A tarefa é resolver a EDO e encontrar a constante k que aparece na solução tal que a curva passa por P.
Passo 2
Vamos primeiro colocar a EDO numa forma mais clara dividindo por x (assumindo x\neq0):
\frac{dy}{dx}+\frac{6}{x}y=x^{6}y^{3}.
Isso é uma equação do tipo onde aparece um termo y^{3} multiplicado por função de x. Para resolver, fazemos a substituição padrão que transforma esse tipo de equação numa linear: definimos
u=y^{1-3}=y^{-2}.
Agora precisamos relacionar du/dx com dy/dx. Derivando u=y^{-2} em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}.
Passo 3
Multiplicamos a equação original (na forma dividida por x) por -2y^{-3} para usar a expressão de \frac{du}{dx}. Começando por
\frac{dy}{dx}+\frac{6}{x}y=x^{6}y^{3},
multiplicando por -2y^{-3} dá
-2y^{-3}\frac{dy}{dx}-\frac{12}{x}y^{-2}=-2x^{6}.
Pela definição de u e da derivada, -2y^{-3}\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx} e y^{-2}=u. Então a equação fica linear em u:
\frac{du}{dx}-\frac{12}{x}u=-2x^{6}.
Passo 4
Resolvemos a linear em u usando fator integrante. O coeficiente de u é -\dfrac{12}{x}, então o fator integrante é