Seja a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{2}+1}}. Determine o número de termos n para que a soma parcial s_{n} aproxime a soma total da série com um erro garantidamente menor que 1 / 5.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número de termos n para que a soma parcial s_{n} da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k^{2}+1}}
apresente um erro (diferença entre soma total e s_{n}) estritamente menor que \tfrac{1}{5}.
Informações dadas:
  • A série é \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k^{2}+1}}.
  • Queremos garantir |S - s_{n}| < \tfrac{1}{5}, onde S é a soma total (limite) da série e s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k^{2}+1}}.
  • Não há mais dados; devemos usar propriedades da série alternada para obter uma estimativa do erro.

Passo 2

Conceito/ferramenta principal que vamos usar (explicada de forma didática): o Teorema da Série Alternada (também chamado de Critério/Estimativa da Série Alternada).
Enunciado útil e intuitivo do teorema:
Se temos uma série alternada
\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} a_{k},
onde (a_{k}) é uma sequência de números positivos que é monótona decrescente ( a_{k+1}\le a_k para todo k) e \lim_{k\to\infty} a_k = 0, então a série converge. Além disso, o erro ao truncar após n termos (o resto R_n = S - s_n) satisfaz a estimativa simples
|R_n| \le a_{n+1}.
Intuição por trás da estimativa: os termos alternam sinais e ficam cada vez menores; os somatórios parciais “oscilam” em volta do valor limite e a oscilação máxima restante depois de n termos é no máximo o tamanho do próximo termo (a_{n+1}).

Passo 3

Verificamos as hipóteses do teorema para a nossa série.
Definimos
a_{k} = \frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}},
que são os módulos dos termos.
  1. Positividade: a_k>0 para todo k. Claro, pois raiz e divisão positivas.
  2. Tendendo a zero: como \sqrt{k^{2}+1}\ge k, temos
0<a_k=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}\le\frac{1}{k}\xrightarrow[k\to\infty]{}0.
Então \lim_{k\to\infty} a_k = 0.
  1. Monotonicidade decrescente: comparamos a_{k} e a_{k+1}:
a_{k+1}=\frac{1}{\sqrt{(k+1)^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+2k+2}}<\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}=a_k,
pois k^{2}+2k+2>k^{2}+1. Logo (a_k) é decrescente para todo k\ge1.
Portanto todas as hipóteses do Teorema da Série Alternada estão satisfeitas e podemos usar a estimativa
|S - s_{n}| \le a_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{(n+1)^{2}+1}}.

Passo 4

Impondo a condição do enunciado: queremos uma garantia
|S - s_{n}| < \frac{1}{5}.
Pelo item anterior, é suficiente exigir
\frac{1}{\sqrt{(n+1)^{2}+1}} < \frac{1}{5}.

Passo 5

Resolver a desigualdade para n.
Começamos invertendo os dois lados (notando que ambos são positivos), ou melhor: tomamos recíproco e depois elevamos ao quadrado para evitar sinais:
\frac{1}{\sqrt{(n+1)^{2}+1}} < \frac{1}{5} \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{(n+1)^{2}+1} > 5.
Elevando ao quadrado:
(n+1)^{2}+1 > 25 \quad\Longleftrightarrow\quad (n+1)^{2} > 24.
Tomando raiz positiva:
n+1 > \sqrt{24}.
Como \sqrt{24}=2\sqrt{6}\approx 4,898979, temos
n > \sqrt{24}-1 \approx 3,898979.

Passo 6

Concluir para inteiro n: n deve ser um número natural. A menor inteira maior que 3,898979 é n=4. Assim n=4 é um candidato que satisfaz a desigualdade.
Verificação numérica rápida (para ficar tranquilo):
  • Para n=4 temos a_{5}=\dfrac{1}{\sqrt{5^{2}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{26}}\approx 0,196116<0,2.
  • Para n=3 temos a_{4}=\dfrac{1}{\sqrt{4^{2}+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\approx 0,242535>0,2, portanto n=3 não bastaria.
Logo o menor n que garante erro menor que \tfrac{1}{5} é n=4.

Resposta

n=4

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