Seja a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{2}+1}}. Determine o número de termos n para que a soma parcial s_{n} aproxime a soma total da série com um erro garantidamente menor que 1 / 5.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número de termos n para que a soma parcial s_{n} da série
apresente um erro (diferença entre soma total e s_{n}) estritamente menor que \tfrac{1}{5}.
Informações dadas:
A série é \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k^{2}+1}}.
Queremos garantir |S - s_{n}| < \tfrac{1}{5}, onde S é a soma total (limite) da série e s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{\sqrt{k^{2}+1}}.
Não há mais dados; devemos usar propriedades da série alternada para obter uma estimativa do erro.
Passo 2
Conceito/ferramenta principal que vamos usar (explicada de forma didática): o Teorema da Série Alternada (também chamado de Critério/Estimativa da Série Alternada).
Enunciado útil e intuitivo do teorema:
Se temos uma série alternada
\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} a_{k},
onde (a_{k}) é uma sequência de números positivos que é monótona decrescente (a_{k+1}\le a_k para todo k) e \lim_{k\to\infty} a_k = 0, então a série converge. Além disso, o erro ao truncar após n termos (o resto R_n = S - s_n) satisfaz a estimativa simples
|R_n| \le a_{n+1}.
Intuição por trás da estimativa: os termos alternam sinais e ficam cada vez menores; os somatórios parciais “oscilam” em volta do valor limite e a oscilação máxima restante depois de n termos é no máximo o tamanho do próximo termo (a_{n+1}).
Passo 3
Verificamos as hipóteses do teorema para a nossa série.
Definimos
a_{k} = \frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}},
que são os módulos dos termos.
Positividade: a_k>0 para todo k. Claro, pois raiz e divisão positivas.