Determine se a EDO é exata. Em caso positivo, resolva-a.
(3 x+4 y) d x+(4 x-8 y^3) d y=0

Passo 1

Temos a EDO (3x+4y),dx + (4x - 8y^3),dy = 0. Isso é uma equação diferencial da forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0. Para testar exatidão, precisamos de M(x,y)=3x+4y e N(x,y)=4x-8y^3 e comparar suas derivadas parciais partial M/partial y e partial N/partial x.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(3x+4y) = 4,
partial Npartial x = partialpartial x(4x-8y^3) = 4
Como partial M/partial y = partial N/partial x = 4, a equação é exata.

Passo 3

Sendo exata, existe uma função potencial Psi(x,y) com Psix = M e Psiy = N. Primeiro, integramos Psix = 3x+4y em relação a x:
Psi(x,y) = integral(3x+4y),dx = tfrac32 x^2 + 4xy + h(y),onde h(y) é uma função arbitrária de y.
Agora usamos Psiy = N. Derivando Psi em relação a y:
Psiy = 4x + h'(y)e igualamos a N=4x-8y^3, obtendo h'(y) = -8y^3. Integrando em relação a y:
h(y) = integral -8y^3,dy = -2y^4 + C

Passo 4

Substituindo em Psi, temos
Psi(x,y) = tfrac32 x^2 + 4xy - 2y^4A solução geral da EDO exata é dada por Psi(x,y)=constante.

Resposta

tfrac32 x^2 + 4xy - 2y^4 = C

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