Considere a EDO homogênea de coeficientes constantes
Descreva o método para encontrar a solução dessa EDO e resolva:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre resolver EDOs lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar a equação característica, que nos ajuda a determinar a solução geral da EDO.
Passo 2
Primeiro, a gente assume que a solução da EDO tem a forma de uma função exponencial, ou seja:
Aqui,
é um número que a gente precisa descobrir. Essa suposição facilita a resolução porque, ao substituir na EDO, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na EDO original:
Passo 4
Podemos fatorar
(que nunca é zero) e obter a equação característica:
Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de
:
Então, as soluções são:
Passo 5
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da EDO. Como temos duas raízes distintas
e
, a solução geral é:
Substituindo os valores de
:
E simplificando
:
Resposta
A solução geral da EDO é: