Considere a EDO homogênea de coeficientes constantes
a y^prime prime+b y^prime+c y=0
Descreva o método para encontrar a solução dessa EDO e resolva:
y^prime prime+7 y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, que é assim:
y^prime prime + 7 y^prime = 0
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre resolver EDOs lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, a gente vai precisar encontrar a equação característica, que nos ajuda a determinar a solução geral da EDO.

Passo 2

Primeiro, a gente assume que a solução da EDO tem a forma de uma função exponencial, ou seja:
y = e^r x
Aqui, é um número que a gente precisa descobrir. Essa suposição facilita a resolução porque, ao substituir na EDO, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de y^prime = r e^r x :
y^prime prime = r^2 e^r x
r^2 e^r x + 7 r e^r x = 0
Agora, substituímos , e na EDO original:

Passo 4

Podemos fatorar r^2 + 7 r = 0 (que nunca é zero) e obter a equação característica:
r (r + 7) = 0
Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de r1 = 0 e r2 = -7 :
Então, as soluções são:

Passo 5

Com os valores de y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x encontrados, podemos escrever a solução geral da EDO. Como temos duas raízes distintas y(x) = C1 e^0 cdot x + C2 e^-7 x e y(x) = C1 + C2 e^-7 x , a solução geral é:
Substituindo os valores de :
E simplificando :

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = C1 + C2 e^-7 x

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