Questão 1 (30 pontos) Considere um sistema linear descrito por:
Pede-se:
(a) Considere
para todo
. Obtenha a solução particular do sistema homogêneo considerando
.
(a) Considere
Passo 1
Temos o sistema linear homogêneo
com
Vamos usar o método de autovalores e autovetores para achar a solução.
Passo 2
Determinamos os autovalores de
resolvendo
Assim, os autovalores são
e
.
Passo 3
Para cada autovalor, achamos o autovetor:
Para , resolvemos
Para
que leva a
Para , resolvemos
Para
que dá
Passo 4
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções elementares:
Passo 5
Impondo a condição inicial
, temos
Isso gera o sistema
de onde se obtém
e
.
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos
Resposta
A solução do sistema homogêneo é
x_1(t)=\tfrac{3}{2}\bigl(e{8t}-e{-8t}\bigr),
\quad x_2(t)=\tfrac{5}{4}e{8t}+\tfrac{3}{4}e{-8t}.
x_1(t)=\tfrac{3}{2}\bigl(e{8t}-e{-8t}\bigr),
\quad x_2(t)=\tfrac{5}{4}e{8t}+\tfrac{3}{4}e{-8t}.