Questão 1 (30 pontos) Considere um sistema linear descrito por:
[l dotx1(t) dotx2(t) ]=[cc -2 & 12 5 & 2 ] cdot[l x1(t) x2(t) ]+[l 1 2 ] cdot u(t)
Pede-se:
(a) Considere u(t)=0 para todo t. Obtenha a solução particular do sistema homogêneo considerando x(0)=[ll0 & 2]^prime.

Passo 1

Temos o sistema linear homogêneo dotx(t)=Ax(t) com
A=-2 & 125 & 2, x(0)=02
Vamos usar o método de autovalores e autovetores para achar a solução.

Passo 2

Determinamos os autovalores de A resolvendo
det(A-lambda I)=(-2-lambda)(2-lambda)-12cdot5=lambda^2-64=0
Assim, os autovalores são lambda1=8 e lambda2=-8.

Passo 3

Para cada autovalor, achamos o autovetor:
Para lambda1=8, resolvemos
(A-8I)v=0 Longrightarrow -10 & 125 & -6v=0
que leva a v1=65
Para lambda2=-8, resolvemos
(A+8I)w=0 Longrightarrow 6 & 125 & 10w=0
que dá v2=-21

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções elementares:
x(t)=C1e^8t65+C2e^-8t-21

Passo 5

Impondo a condição inicial x(0)=02, temos
02=C165+C2-21
Isso gera o sistema
6C1-2C2=0, 5C1+C2=2
de onde se obtém C1=tfrac14 e C2=tfrac34.

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos
x(t)=tfrac14e^8t65+tfrac34e^-8t-21 =tfrac32(e^8t-e^-8t)[6pt] tfrac54e^8t+tfrac34e^-8t

Resposta

A solução do sistema homogêneo é
x_1(t)=\tfrac{3}{2}\bigl(e{8t}-e{-8t}\bigr),
\quad x_2(t)=\tfrac{5}{4}e{8t}+\tfrac{3}{4}e{-8t}.

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