Questão 1 (30 pontos) Considere um sistema linear descrito por:
Pede-se:
(b) Considere
. Obtenha a solução completa do sistema não-homogêneo usando o método da diagonalização ou o método da variação dos parâmetros.
(b) Considere
Passo 1
O enunciado pede a solução completa do sistema linear não-homogêneo
onde
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares com termo forçante usando diagonalização (para a parte homogênea) e coeficientes indeterminados (para a parte particular).
Passo 2
Começamos encontrando a solução homogênea:
- Calculamos os autovalores resolvendo
Logo
e
.
2) Para , resolvemos
e obtemos o autovetor
.
Para , resolvemos
e obtemos
.
3) A solução homogênea geral é
2) Para
Para
3) A solução homogênea geral é
Passo 3
Agora a parte particular via coeficientes indeterminados:
- Fazemos a suposição
com
constantes.
2) Calculamos
2) Calculamos
e substituímos em
. Igualando coeficientes de
e
obtemos
- Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Como
vem
Passo 4
A solução completa é a soma da homogênea com a particular:
onde
Resposta
A solução geral do sistema é
com constantes arbitrárias
.