Questão 1 (30 pontos) Considere um sistema linear descrito por:
[l dotx1(t) dotx2(t) ]=[cc -2 & 12 5 & 2 ] cdot[l x1(t) x2(t) ]+[l 1 2 ] cdot u(t)
Pede-se:
(b) Considere u(t)=cos (t). Obtenha a solução completa do sistema não-homogêneo usando o método da diagonalização ou o método da variação dos parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede a solução completa do sistema linear não-homogêneo
dot x(t)=A,x(t)+B,cos t
onde
A=-2&125&2, B=12
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares com termo forçante usando diagonalização (para a parte homogênea) e coeficientes indeterminados (para a parte particular).

Passo 2

Começamos encontrando a solução homogênea:
  1. Calculamos os autovalores resolvendo
det(A-lambda I)=det-2-lambda&125&2-lambda=lambda^2-64=0
Logo lambda1=8 e lambda2=-8.
2) Para lambda1=8, resolvemos (A-8I)v=0 e obtemos o autovetor v1=(6,5)^T.
Para lambda2=-8, resolvemos (A+8I)v=0 e obtemos v2=(2,-1)^T.
3) A solução homogênea geral é
xh(t)=C1e^8t65+C2e^-8t2-1

Passo 3

Agora a parte particular via coeficientes indeterminados:
  1. Fazemos a suposição
xp(t)=acos t+bsin t,
com a,bin R^2 constantes.
2) Calculamos
dot xp=-asin t+bcos t,
e substituímos em dot xp=A xp+Bcos t. Igualando coeficientes de cos t e sin t obtemos
b=A a+B, -a=A b
  1. Da segunda equação vem a=-A b. Substituindo na primeira:
b=A(-A b)+B= -A^2 b+B Longrightarrow (I+A^2)b=B
Como
A^2=64&00&64=64I, I+A^2=65I,
vem
b=165B=16512, a=-A b=-22/659/65

Passo 4

A solução completa é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=xh(t)+xp(t)
onde
xh(t)=C1e^8t65+C2e^-8t2-1, xp(t)=-tfrac2265cos t+tfrac165sin t-tfrac965cos t+tfrac265sin t

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t)=C1e^8t65+C2e^-8t2-1+-tfrac2265cos t+tfrac165sin t-tfrac965cos t+tfrac265sin t,
com constantes arbitrárias C1,C2.

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