Seja a função
h(x)=|x+2|
definida no domínio [-3 ; 3].
Determine em qual valor da variável x a função h não é derivável.

Passo 1

A questão apresenta a função h(x)=|x+2| no domínio [-3,3] e pede para achar o ponto em que ela não é derivável. O conteúdo envolvido é derivação de função valor absoluto e vamos usar a definição de derivada lateral.

Passo 2

A gente sabe que |u| pode ser escrito como função por partes: se u>=0, |u|=u; se u<0, |u|=-u. Aqui u=x+2, então
h(x)=|x+2|=x+2,&x+2>=0-(x+2),&x+2<0=x+2,&x>=-2-x-2,&x<-2

Passo 3

Com a forma por partes, derivamos cada ramo separadamente. Para x>-2 temos h(x)=x+2 e
h'(x)=1(x>-2)

Passo 4

Para x<-2 temos h(x)=-x-2 e
h'(x)=-1(x<-2)

Passo 5

O único ponto em que podem divergir as derivadas laterais é em x=-2. Vamos ver: Para a derivada pela direita em x=-2 ficaria h'+( -2)=1 e pela esquerda h'-(-2)=-1.
Como h'+( -2)neq h'-(-2), a derivada não existe em x=-2.

Resposta

x = -2

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