Considere as formas quadráticas
geradas pelas seguintes matrizis, e diga se são indefinidas, definidas ou semidefinidas (positivas ou negativas):
Passo 1
O enunciado pede para classificar a forma quadrática q(𝒗)=𝒗ᵀA𝒗 gerada pela matriz
O conteúdo é classificação de formas quadráticas via valores próprios ou menores principais.
Passo 2
Observamos que A é uma matriz de bloco diagonal, com o bloco 2×2
e o elemento isolado -3.
Passo 3
Para achar os valores próprios de B, resolvemos det(B−λI)=0:
Passo 4
Como A é bloco diagonal, seus valores próprios são λ_1=0, λ_2=−2 (do bloco B) e λ_3=−3 (do elemento isolado).
Passo 5
Na classificação de formas quadráticas, se todos os valores próprios são ≤0 e pelo menos um é 0, então a forma é semidefinida negativa.
Resposta
A é semidefinida negativa