Considere a EDO homogênea de coeficientes constantes
Descreva o método para encontrar a solução dessa EDO e resolva:
Passo 1
A questão pede para resolver a EDO homogênea de coeficientes constantes
e em particular para
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar o método do polinômio característico.
Passo 2
O método geral consiste em supor uma solução da forma
substituir na EDO e obter o polinômio (equação) característico
As raízes desse polinômio determinam o formato da solução geral.
Passo 3
Ao resolver o característico
verificamos três casos de raízes:
- Duas raízes reais distintas
e :
- Raiz real repetida
:
- Duas raízes complexas conjugadas
:
Passo 4
Para o caso específico
temos
,
,
, de modo que o característico é
cuja solução é
Aqui temos raízes complexas com
e
.
Passo 5
Como as raízes são
, a solução geral fica
ou seja simplesmente