Considere a EDO homogênea de coeficientes constantes
a y^prime prime+b y^prime+c y=0
Descreva o método para encontrar a solução dessa EDO e resolva:
y^prime prime+4 y=0

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO homogênea de coeficientes constantes
ay''+by'+cy=0
e em particular para
y''+4y=0
O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

O método geral consiste em supor uma solução da forma
y(x)=e^rx,
substituir na EDO e obter o polinômio (equação) característico
ar^2+br+c=0
As raízes desse polinômio determinam o formato da solução geral.

Passo 3

Ao resolver o característico ar^2+br+c=0 verificamos três casos de raízes:
  • Duas raízes reais distintas r1 e r2:
y=C1e^r1x+C2e^r2x
  • Raiz real repetida r:
y=(C1+C2x)e^rx
  • Duas raízes complexas conjugadas r=apm bi:
y=e^axigl(C1cos(bx)+C2sin(bx)r) 

Passo 4

Para o caso específico y''+4y=0 temos a=1, b=0, c=4, de modo que o característico é
r^2+4=0
cuja solução é
r=pm2i
Aqui temos raízes complexas com a=0 e b=2.

Passo 5

Como as raízes são 0pm2i, a solução geral fica
y(x)=e^0cdot xl(C1cos(2x)+C2sin(2x)r)
ou seja simplesmente
y(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)

Resposta

y(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)

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