1. Resolva o que é solicitado em cada item:
(b) Encontre a solução da equação diferencial ordinária:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\operatorname{sinh} (t),
com as condições iniciais
y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0 .

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária de segunda ordem não homogênea e condições iniciais. Vou listar claramente o que é pedido e os dados:
  • Equação diferencial:
y'' - 6y' + 9y = \operatorname{sinh}(t).
  • Condições iniciais:
y(0)=2,\qquad y'(0)=0.
O objetivo é encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação e as duas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). A homogênea é
y'' - 6y' + 9y = 0.
Para resolver esse tipo de equação usamos a equação característica substituindo y=e^{rt}. A equação característica é
r^{2}-6r+9=0.
Calculando o discriminante ou fatorando, percebe-se que
r^{2}-6r+9=(r-3)^{2},
logo há uma raiz real dupla r=3.
Quando a equação característica tem raiz dupla r=3, a solução geral da homogênea tem a forma (é uma regra padrão para raízes repetidas):
y_{c}(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{3t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando rápido por que: para raiz simples r tem e^{rt}; para raiz dupla r surge também a solução t e^{rt} para garantir duas soluções linearmente independentes.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) da equação completa. Observação importante sobre o lado direito: \operatorname{sinh}(t) pode ser escrito em termos de exponenciais:
\operatorname{sinh}(t)=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
Portanto o termo não homogêneo é combinação linear de e^{t} e e^{-t}. Pelo método dos coeficientes não determinados, procuramos uma solução particular da forma
y_{p}(t)=A e^{t}+B e^{-t},
onde A e B são constantes a determinar. (Isso é válido porque e^{t} e e^{-t} não são soluções da homogênea; a raiz da homogênea é 3, diferente de 1 e -1, então não há ressonância.)
Calculemos as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(t)=A e^{t}-B e^{-t},
y_{p}''(t)=A e^{t}+B e^{-t}.
Substituindo na equação diferencial à esquerda L[y]=y''-6y'+9y:
L[y_{p}]=(A e^{t}+B e^{-t})-6(A e^{t}-B e^{-t})+9(A e^{t}+B e^{-t}).
Agrupando termos em e^{t} e e^{-t}:
  • Coeficiente de e^{t}: A - 6A + 9A = (1-6+9)A = 4A.
  • Coeficiente de e^{-t}: B + 6B + 9B = (1+6+9)B = 16B.
Logo
L[y_{p}] = 4A e^{t} + 16B e^{-t}.
Queremos L[y_{p}]=\operatorname{sinh}(t)=\dfrac{1}{2}e^{t}-\dfrac{1}{2}e^{-t}. Igualando coeficientes das exponenciais obtemos o sistema:
4A=\frac{1}{2},\qquad 16B=-\frac{1}{2}.
Resolvendo,
A=\frac{1}{8},\qquad B=-\frac{1}{32}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(t)=\frac{1}{8}e^{t}-\frac{1}{32}e^{-t}.

Passo 4

A solução geral da equação completa é soma da homogênea com a particular:
y(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{3t}+\frac{1}{8}e^{t}-\frac{1}{32}e^{-t}.
Agora usamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Calcule y(0). Substituindo t=0 (lembre que e^{0}=1):
y(0)= (C_{1}+C_{2}\cdot 0)\cdot 1 +\frac{1}{8}\cdot 1 -\frac{1}{32}\cdot 1 = C_{1} +\frac{1}{8}-\frac{1}{32}.
Calcule a diferença de frações:
\frac{1}{8}-\frac{1}{32}=\frac{4}{32}-\frac{1}{32}=\frac{3}{32}.
Como y(0)=2, temos
C_{1}+\frac{3}{32}=2 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=2-\frac{3}{32}=\frac{64-3}{32}=\frac{61}{32}.
Agora calculamos y'(t) para usar y'(0)=0. Derivando a expressão geral:
  • Derivada de (C_{1}+C_{2}t)e^{3t}: usar produto. Uma forma direta:
\frac{d}{dt}\big((C_{1}+C_{2}t)e^{3t}\big) = C_{2}e^{3t} + 3(C_{1}+C_{2}t)e^{3t}.
Reescrevendo:
\frac{d}{dt}\big((C_{1}+C_{2}t)e^{3t}\big) = (3C_{1}+C_{2}+3C_{2}t)e^{3t}.
  • Derivada de \tfrac{1}{8}e^{t} é \tfrac{1}{8}e^{t}.
  • Derivada de -\tfrac{1}{32}e^{-t} é +\tfrac{1}{32}e^{-t} (porque -\tfrac{1}{32}\cdot (-1)e^{-t}=\tfrac{1}{32}e^{-t}).
Portanto
y'(t)=(3C_{1}+C_{2}+3C_{2}t)e^{3t}+\frac{1}{8}e^{t}+\frac{1}{32}e^{-t}.
Avalie em t=0:
y'(0)=(3C_{1}+C_{2})\cdot 1 +\frac{1}{8}+\frac{1}{32}=3C_{1}+C_{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}.
Calcule \frac{1}{8}+\frac{1}{32}=\frac{4}{32}+\frac{1}{32}=\frac{5}{32}. Como y'(0)=0, obtemos
3C_{1}+C_{2}+\frac{5}{32}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-3C_{1}-\frac{5}{32}.
Substituindo C_{1}=\dfrac{61}{32}:
3C_{1}=\frac{183}{32},
C_{2}=-\frac{183}{32}-\frac{5}{32}=-\frac{188}{32}=-\frac{47}{8}.

Passo 5

Substituindo C_{1}=\dfrac{61}{32} e C_{2}=-\dfrac{47}{8} na solução geral, a solução final que satisfaz a equação e as condições iniciais é
y(t)=\left(\frac{61}{32}-\frac{47}{8}t\right)e^{3t}+\frac{1}{8}e^{t}-\frac{1}{32}e^{-t}.

Resposta

y(t)=\left(\frac{61}{32}-\frac{47}{8}t\right)e^{3t}+\frac{1}{8}e^{t}-\frac{1}{32}e^{-t}.

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