- Resolva o que é solicitado em cada item:
(b) Encontre a solução da equação diferencial ordinária:
com as condições iniciais
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária de segunda ordem não homogênea e condições iniciais. Vou listar claramente o que é pedido e os dados:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O objetivo é encontrar a solução
que satisfaz a equação e as duas condições iniciais.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). A homogênea é
Para resolver esse tipo de equação usamos a equação característica substituindo
. A equação característica é
Calculando o discriminante ou fatorando, percebe-se que
logo há uma raiz real dupla
.
Quando a equação característica tem raiz dupla
, a solução geral da homogênea tem a forma (é uma regra padrão para raízes repetidas):
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando rápido por que: para raiz simples
tem
; para raiz dupla
surge também a solução
para garantir duas soluções linearmente independentes.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Observação importante sobre o lado direito:
pode ser escrito em termos de exponenciais:
Portanto o termo não homogêneo é combinação linear de
e
. Pelo método dos coeficientes não determinados, procuramos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar. (Isso é válido porque
e
não são soluções da homogênea; a raiz da homogênea é
, diferente de
e
, então não há ressonância.)
Calculemos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial à esquerda
:
Agrupando termos em
e
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Logo
Queremos
. Igualando coeficientes das exponenciais obtemos o sistema:
Resolvendo,
Portanto a solução particular é
Passo 4
A solução geral da equação completa é soma da homogênea com a particular:
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Calcule
. Substituindo
(lembre que
):
Calcule a diferença de frações:
Como
, temos
Agora calculamos
para usar
. Derivando a expressão geral:
- Derivada de
: usar produto. Uma forma direta:
Reescrevendo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é (porque ).
Portanto
Avalie em
:
Calcule
. Como
, obtemos
Substituindo
:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, a solução final que satisfaz a equação e as condições iniciais é