Considere a EDO linear com coeficientes constantes
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 e^{x}+x e^{3 x}
(a) (1,5) Encontre a solução geral da EDO linear homogênea associada à EDO (1).
(b) (1,5) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular da EDO (1).
(c) (0,5) Determine a solução geral da EDO (1). A solução geral engloba todas as soluções?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=2e^{x}+x e^{3x}.
O que é pedido:
  • (a) Encontrar a solução geral da equação homogênea associada à EDO (ou seja, resolver \;y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=0\;).
  • (b) Usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular da EDO completa (ou seja, uma função y_p que satisfaça a equação não homogênea).
  • (c) Determinar a solução geral da EDO completa e responder se essa solução geral engloba todas as soluções possíveis da equação.
Informações relevantes dadas:
  • Operador linear de segunda ordem com coeficientes constantes: y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y.
  • Termo não-homogêneo (forçamento) é 2e^{x}+x e^{3x}, composto por duas parcelas exponenciais/polinomiais multiplicadas por exponenciais.
  • Não há condições iniciais; pede-se a solução geral.

Passo 2

Resolvendo a homogênea: começar pela equação característica. Para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo em
y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+3y=0
obtemos a equação característica
r^{2}-4r+3=0.
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la passo a passo: fatoramos
r^{2}-4r+3=(r-1)(r-3)=0.
Portanto as raízes são \;r=1\; e \;r=3\;. Como são duas raízes reais e distintas, a forma geral da solução da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_h = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Aqui eu expliquei: cada raiz r dá uma solução e^{r x}; com duas raízes distintas, somamos as duas soluções.

Passo 3

Planejamento do método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients):
  • O termo do lado direito é soma de duas parcelas: 2e^{x} e x e^{3x}. Pelo princípio da superposição, podemos procurar uma solução particular como soma de uma solução particular para cada parcela:
y_p = y_{p1} + y_{p2},
onde y_{p1} atende ao forçamento 2e^{x} e y_{p2} atende ao forçamento x e^{3x}.
  • Regra prática para escolher o formato do palpite (ansatz): se o forçamento é P(x)e^{\alpha x}, onde P(x) é um polinômio de grau n, então o palpite é um polinômio de grau n vezes e^{\alpha x}. Porém se e^{\alpha x} já é solução da homogênea (ou seja, \alpha é raiz da característica), multiplica-se o palpite por x^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz \alpha.
  • No nosso caso:
    • Para 2e^{x}: \alpha=1 é raiz simples da característica (multiplicidade 1), logo multiplicamos por x. O polinômio é constante (grau 0), então tentamos y_{p1}=A x e^{x}.
    • Para x e^{3x}: aqui P(x)=x tem grau 1 e \alpha=3 é raiz simples da característica, então multiplicamos o palpite padrão (B x + C)e^{3x} por x, obtendo y_{p2}=(B x^{2}+C x)e^{3x}.
      Vou agora calcular A,B,C substituindo esses palpites na EDO.

Passo 4

Calcular y_{p1} para o termo 2e^{x}.
Palpite:
y_{p1}=A x e^{x}.
Calcular derivadas (faça na prova sabendo a regra do produto):
y_{p1}'=A(e^{x}+x e^{x})=A e^{x}(1+x),
y_{p1}''=A(e^{x}+e^{x}+x e^{x})=A e^{x}(2+x).
Agora aplicar o operador linear L[y]=y''-4y'+3y em y_{p1}:
L[y_{p1}]=A e^{x}(2+x)-4A e^{x}(1+x)+3A x e^{x}.
Fatorando A e^{x}:
L[y_{p1}]=A e^{x}\big(2+x-4-4x+3x\big)=A e^{x}(-2).
Portanto
L[y_{p1}] = -2A e^{x}.
Queremos que isso produza a parcela 2e^{x} do lado direito, logo
-2A e^{x}=2 e^{x}\quad\Rightarrow\quad -2A=2 \quad\Rightarrow\quad A=-1.
Assim
y_{p1}=-x e^{x}.

Passo 5

Calcular y_{p2} para o termo x e^{3x}.
Palpite:
y_{p2}=(B x^{2}+C x)e^{3x}.
Para simplificar os cálculos, escrevo u(x)=B x^{2}+C x. Então y_{p2}=u e^{3x}. Use as fórmulas
y'= (u'+3u)e^{3x},\qquad y''=(u''+6u'+9u)e^{3x}.
Calcule u',u'':
u'=2B x + C,\qquad u''=2B.
Agora
y_{p2}'=\big(3B x^{2}+(2B+3C)x + C\big)e^{3x},
y_{p2}''=\big(9B x^{2}+(12B+9C)x+(2B+6C)\big)e^{3x}.
Aplicando L:
L[y_{p2}]=y_{p2}''-4y_{p2}'+3y_{p2}
=\Big(9B x^{2}+(12B+9C)x+(2B+6C)\Big)e^{3x} -4\Big(3B x^{2}+(2B+3C)x + C\Big)e^{3x} +3\Big(B x^{2}+C x\Big)e^{3x}.
Como todos os termos têm fator e^{3x}, fatoramos e somamos os coeficientes polinomiais:
  • Coeficiente de x^{2}: 9B -4(3B)+3B =9B-12B+3B=0.
  • Coeficiente de x: 12B+9C -4(2B+3C)+3C =12B+9C-8B-12C+3C =4B.
  • Termo constante: 2B+6C -4C =2B+2C.
Portanto
L[y_{p2}] = e^{3x}\big(4B x + (2B+2C)\big).
Queremos que isso seja igual a x e^{3x}, ou seja
4B x + (2B+2C) = 1\cdot x + 0.
Comparando coeficientes:
4B=1 \quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{1}{4},
2B+2C=0 \quad\Rightarrow\quad 2\cdot\tfrac{1}{4}+2C=0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2}+2C=0 \quad\Rightarrow\quad C=-\tfrac{1}{4}.
Logo
y_{p2}=\Big(\tfrac{1}{4}x^{2}-\tfrac{1}{4}x\Big)e^{3x}=\tfrac{1}{4}(x^{2}-x)e^{3x}.

Passo 6

Juntando as duas partes particulares:
y_p = y_{p1}+y_{p2} = -x e^{x} + \tfrac{1}{4}(x^{2}-x)e^{3x}.
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com uma particular:
y = y_h + y_p = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3x} - x e^{x} + \tfrac{1}{4}(x^{2}-x)e^{3x}.
Explicação sobre se essa solução geral engloba todas as soluções: sim. Para uma EDO linear de segunda ordem, o conjunto de soluções da homogênea forma um espaço vetorial de dimensão 2; qualquer solução da não-homogênea pode ser escrita como uma soma de uma solução particular mais uma combinação linear das duas soluções independentes da homogênea. Assim a expressão acima, com C_{1},C_{2} arbitrários, representa todas as soluções possíveis da EDO dada. Em termos práticos, dados quaisquer valores iniciais y(x_{0}) e y'(x_{0}), existe uma única escolha de C_{1},C_{2} que satisfaz essas condições (teorema de existência e unicidade).

Resposta

(a) y_h=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}.
(b) y_p=-x e^{x}+\dfrac{1}{4}(x^{2}-x)e^{3x}.
(c) y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}-x e^{x}+\dfrac{1}{4}(x^{2}-x)e^{3x}.
Sim — essa expressão, com C_{1},C_{2} arbitrários, representa todas as soluções da EDO.

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