Considere a EDO linear com coeficientes constantes
(a)
Encontre a solução geral da EDO linear homogênea associada à EDO (1).
(b)
Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular da EDO (1).
(c)
Determine a solução geral da EDO (1). A solução geral engloba todas as soluções?
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
O que é pedido:
- (a) Encontrar a solução geral da equação homogênea associada à EDO (ou seja, resolver
). - (b) Usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular da EDO completa (ou seja, uma função
que satisfaça a equação não homogênea). - (c) Determinar a solução geral da EDO completa e responder se essa solução geral engloba todas as soluções possíveis da equação.
Informações relevantes dadas:
- Operador linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
. - Termo não-homogêneo (forçamento) é
, composto por duas parcelas exponenciais/polinomiais multiplicadas por exponenciais. - Não há condições iniciais; pede-se a solução geral.
Passo 2
Resolvendo a homogênea: começar pela equação característica. Para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo em
obtemos a equação característica
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la passo a passo: fatoramos
Portanto as raízes são
e
. Como são duas raízes reais e distintas, a forma geral da solução da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias. Aqui eu expliquei: cada raiz
dá uma solução
; com duas raízes distintas, somamos as duas soluções.
Passo 3
Planejamento do método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients):
- O termo do lado direito é soma de duas parcelas:
e . Pelo princípio da superposição, podemos procurar uma solução particular como soma de uma solução particular para cada parcela:
onde
atende ao forçamento
e
atende ao forçamento
.
- Regra prática para escolher o formato do palpite (ansatz): se o forçamento é
, onde é um polinômio de grau , então o palpite é um polinômio de grau vezes . Porém se já é solução da homogênea (ou seja, é raiz da característica), multiplica-se o palpite por , onde é a multiplicidade da raiz . - No nosso caso:
- Para
: é raiz simples da característica (multiplicidade ), logo multiplicamos por . O polinômio é constante (grau ), então tentamos . - Para
: aqui tem grau e é raiz simples da característica, então multiplicamos o palpite padrão por , obtendo .
Vou agora calcularsubstituindo esses palpites na EDO.
- Para
Passo 4
Calcular
para o termo
.
Palpite:
Calcular derivadas (faça na prova sabendo a regra do produto):
Agora aplicar o operador linear
em
:
Fatorando
:
Portanto
Queremos que isso produza a parcela
do lado direito, logo
Assim
Passo 5
Calcular
para o termo
.
Palpite:
Para simplificar os cálculos, escrevo
. Então
. Use as fórmulas
Calcule
:
Agora
Aplicando
:
Como todos os termos têm fator
, fatoramos e somamos os coeficientes polinomiais:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: - Termo constante:
Portanto
Queremos que isso seja igual a
, ou seja
Comparando coeficientes:
Logo
Passo 6
Juntando as duas partes particulares:
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com uma particular:
Explicação sobre se essa solução geral engloba todas as soluções: sim. Para uma EDO linear de segunda ordem, o conjunto de soluções da homogênea forma um espaço vetorial de dimensão
; qualquer solução da não-homogênea pode ser escrita como uma soma de uma solução particular mais uma combinação linear das duas soluções independentes da homogênea. Assim a expressão acima, com
arbitrários, representa todas as soluções possíveis da EDO dada. Em termos práticos, dados quaisquer valores iniciais
e
, existe uma única escolha de
que satisfaz essas condições (teorema de existência e unicidade).
Resposta
(a)
(b)
(c)
Sim — essa expressão, com arbitrários, representa todas as soluções da EDO.
Sim — essa expressão, com