Encontre uma solução não constante da EDO
. Qual é a solução geral?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (i) encontre uma solução não constante; (ii) determine a solução geral. Informação relevante: é uma EDO de segunda ordem, linear e homogênea, e note que não aparece a função
sem derivada (aparece apenas
e
).
Passo 2
Uma ideia útil quando a equação não envolve
diretamente é reduzir a ordem usando a substituição
Explicando devagar:
é a derivada de
. Como a equação original envolve
e
, podemos escrevê-la em termos de
e
(pois
). Isso transforma a EDO de segunda ordem numa EDO de primeira ordem para
, que geralmente é mais simples de resolver.
Passo 3
Substituindo
e
na equação obtemos
Reescrevendo isolando
,
Aqui
. Esta é uma equação de primeira ordem que pode ser resolvida por separação de variáveis (ou como equação linear com coeficiente conhecido).
Passo 4
Separe as variáveis e integre. Escrevemos
Agora integramos ambos os lados. O lado esquerdo dá
. O lado direito é a integral óbvia porque a derivada de
é
. Portanto,
onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Exponenciando ambos os lados obtemos
Absorvendo o sinal e
numa constante arbitrária (que chamamos de
, podendo ser positiva, negativa ou zero), ficamos com
Lembrete: aqui
é uma constante real arbitrária que veio da integração.
Passo 6
Voltando à função
, lembramos que
. Então temos
Integramos novamente em relação a
:
onde
é outra constante de integração. Aqui usei a integral
e
.
Passo 7
Temos, portanto, a solução geral da EDO como uma combinação linear com duas constantes arbitrárias:
Uma solução não constante é qualquer caso com
. Por exemplo, escolhendo
e
obtemos a solução explícita
que é não constante porque sua derivada
não é identicamente zero.