(1,5) Encontre uma solução não constante da EDO \left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}=0. Qual é a solução geral?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1+x^{2})\,y''-2x\,y'=0
e pede duas coisas: (i) encontre uma solução não constante; (ii) determine a solução geral. Informação relevante: é uma EDO de segunda ordem, linear e homogênea, e note que não aparece a função y sem derivada (aparece apenas y' e y'').

Passo 2

Uma ideia útil quando a equação não envolve y diretamente é reduzir a ordem usando a substituição
p(x)=y'(x).
Explicando devagar: p é a derivada de y. Como a equação original envolve y'' e y', podemos escrevê-la em termos de p e p' (pois y''=p'). Isso transforma a EDO de segunda ordem numa EDO de primeira ordem para p, que geralmente é mais simples de resolver.

Passo 3

Substituindo p e p' na equação obtemos
(1+x^{2})\,p' - 2x\,p = 0.
Reescrevendo isolando p',
p' = \frac{2x}{1+x^{2}}\,p.
Aqui p'=\dfrac{dp}{dx}. Esta é uma equação de primeira ordem que pode ser resolvida por separação de variáveis (ou como equação linear com coeficiente conhecido).

Passo 4

Separe as variáveis e integre. Escrevemos
\frac{1}{p}\,dp = \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
Agora integramos ambos os lados. O lado esquerdo dá \ln|p|. O lado direito é a integral óbvia porque a derivada de \ln(1+x^{2}) é \dfrac{2x}{1+x^{2}}. Portanto,
\int \frac{1}{p}\,dp = \int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx
\ln|p| = \ln(1+x^{2}) + C,
onde C é uma constante de integração.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados obtemos
|p| = e^{C}\,(1+x^{2}).
Absorvendo o sinal e e^{C} numa constante arbitrária (que chamamos de C_{1}, podendo ser positiva, negativa ou zero), ficamos com
p(x)=C_{1}\,(1+x^{2}).
Lembrete: aqui C_{1} é uma constante real arbitrária que veio da integração.

Passo 6

Voltando à função y, lembramos que p=y'. Então temos
y' = C_{1}\,(1+x^{2}).
Integramos novamente em relação a x:
y = C_{1}\int (1+x^{2})\,dx + C_{2}
y = C_{1}\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Aqui usei a integral \int 1\,dx = x e \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}.

Passo 7

Temos, portanto, a solução geral da EDO como uma combinação linear com duas constantes arbitrárias:
y(x)=C_{1}\left(x+\frac{x^{3}}{3}\right)+C_{2}.
Uma solução não constante é qualquer caso com C_{1}\neq 0. Por exemplo, escolhendo C_{1}=1 e C_{2}=0 obtemos a solução explícita
y(x)=x+\frac{x^{3}}{3},
que é não constante porque sua derivada y'(x)=1+x^{2} não é identicamente zero.

Resposta

y(x)=x+\dfrac{x^{3}}{3}
y(x)=C_{1}\!\left(x+\dfrac{x^{3}}{3}\right)+C_{2}

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