Modele a EDO para a carga q(t) em um circuito LC em série sem resistência ( \mathrm{R}=0 ), com indutância L e capacitância C , sujeito a uma voltagem aplicada zero (E(t)=0).

Passo 1

O que o enunciado pede: modelar a equação diferencial ordinária (EDO) para a carga q(t) num circuito série LC sem resistência ( R=0), com indutância L e capacitância C, sujeito a uma tensão aplicada zero ( E(t)=0).
Informações dadas e relevantes: R=0; indutância L (constante positiva); capacitância C (constante positiva); tensão aplicada E(t)=0. A incógnita a modelar é q(t), a carga no capacitor ao longo do tempo.

Passo 2

Definições e relações físicas básicas (explicadas de forma concreta):
  • Defina q(t) como a carga no capacitor em coulombs.
  • Defina a corrente do circuito como i(t). Num circuito série, a corrente é a taxa de variação da carga do capacitor, portanto
i(t)=q'(t).
Expliquei isso: carga é o que está dentro do capacitor; quando ela muda, passa corrente. A derivada de carga dá a corrente.

Passo 3

Tensões nos elementos (fórmulas fundamentais e por que valem):
  • Tensão no capacitor: a lei do capacitor dá
V_C(t)=\frac{q(t)}{C},
onde V_C está em volts, q em coulombs e C em farads. Intuição: quanto mais carga no capacitor, maior a tensão; é proporcional.
  • Tensão no indutor: a lei do indutor dá
V_L(t)=L\,\frac{di}{dt}=L\,q''(t),
pois i=q'. Intuição: o indutor reage à variação da corrente, então a tensão é proporcional à derivada da corrente.

Passo 4

Aplicando a Lei das Malhas (KVL) ao circuito série: a soma algébrica das quedas de tensão ao longo da malha deve igualar a tensão aplicada E(t). Como temos só indutor e capacitor e E(t)=0,
V_L(t)+V_C(t)=E(t)=0.
Substituindo as expressões de V_L e V_C,
L\,q''(t)+\frac{q(t)}{C}=0.
Isso já é a EDO modelando q(t). Expliquei passo a passo: peguei as fórmulas de cada elemento e somei seguindo a KVL.

Passo 5

Colocando a EDO em forma padrão: divido por L (que é positivo) para normalizar o coeficiente da segunda derivada:
q''(t)+\frac{1}{LC}\,q(t)=0.
Defino a frequência angular natural do circuito
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},
então a equação fica
q''(t)+\omega_0^2 q(t)=0.
Comentário físico: isto é a equação de um oscilador harmônico simples — a carga oscila entre capacitor e indutor com frequência \omega_0.

Passo 6

Resolvendo a EDO (método e interpretação): é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Montamos a equação característica
r^2+\omega_0^2=0,
cuja solução é r=\pm i\omega_0. Logo a solução geral é combinação linear de seno e cosseno:
q(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Expliquei: raízes puramente imaginárias -> oscilações harmônicas.

Passo 7

Como achar A e B a partir das condições iniciais (útil na prova): suponha que q(0)=q_0 e i(0)=i_0. Então
q(0)=A=q_0,
e derivando q,
q'(t)=-A\omega_0\sin(\omega_0 t)+B\omega_0\cos(\omega_0 t),
logo em t=0
i(0)=q'(0)=B\omega_0=i_0\quad\Rightarrow\quad B=\frac{i_0}{\omega_0}.
Assim a solução com condições iniciais fica
q(t)=q_0\cos(\omega_0 t)+\frac{i_0}{\omega_0}\sin(\omega_0 t).

Passo 8

Expressão para a corrente e conservação de energia (intuição adicional): a corrente é
i(t)=q'(t)=-q_0\omega_0\sin(\omega_0 t)+i_0\cos(\omega_0 t).
A energia total do circuito é
\mathcal{E}(t)=\frac{1}{2C}q(t)^2+\frac{1}{2}L\,i(t)^2,
e usando a EDO verifica-se que \mathcal{E}'(t)=0, ou seja, a energia é conservada (ela passa do capacitor para o indutor e vice‑versa), o que faz sentido porque não há resistência.

Resposta

L\,q''(t)+\frac{q(t)}{C}=0
\text{ou}\quad q''(t)+\frac{1}{LC}\,q(t)=0,\quad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}
q(t)=A\cos(\omega_0 t)+B\sin(\omega_0 t)
\text{com }A=q(0),\quad B=\frac{q'(0)}{\omega_0}=\frac{i(0)}{\omega_0}.

Exercícios relacionados