Modele a EDO para a carga
em um circuito LC em série sem resistência (
), com indutância L e capacitância C , sujeito a uma voltagem aplicada zero
.
Passo 1
O que o enunciado pede: modelar a equação diferencial ordinária (EDO) para a carga
num circuito série
sem resistência (
), com indutância
e capacitância
, sujeito a uma tensão aplicada zero (
).
Informações dadas e relevantes: ; indutância
(constante positiva); capacitância
(constante positiva); tensão aplicada
. A incógnita a modelar é
, a carga no capacitor ao longo do tempo.
Informações dadas e relevantes:
Passo 2
Definições e relações físicas básicas (explicadas de forma concreta):
- Defina
como a carga no capacitor em coulombs. - Defina a corrente do circuito como
. Num circuito série, a corrente é a taxa de variação da carga do capacitor, portanto
Expliquei isso: carga é o que está dentro do capacitor; quando ela muda, passa corrente. A derivada de carga dá a corrente.
Passo 3
Tensões nos elementos (fórmulas fundamentais e por que valem):
- Tensão no capacitor: a lei do capacitor dá
onde
está em volts,
em coulombs e
em farads. Intuição: quanto mais carga no capacitor, maior a tensão; é proporcional.
- Tensão no indutor: a lei do indutor dá
pois
. Intuição: o indutor reage à variação da corrente, então a tensão é proporcional à derivada da corrente.
Passo 4
Aplicando a Lei das Malhas (KVL) ao circuito série: a soma algébrica das quedas de tensão ao longo da malha deve igualar a tensão aplicada
. Como temos só indutor e capacitor e
,
Substituindo as expressões de
e
,
Isso já é a EDO modelando
. Expliquei passo a passo: peguei as fórmulas de cada elemento e somei seguindo a KVL.
Passo 5
Colocando a EDO em forma padrão: divido por
(que é positivo) para normalizar o coeficiente da segunda derivada:
Defino a frequência angular natural do circuito
então a equação fica
Comentário físico: isto é a equação de um oscilador harmônico simples — a carga oscila entre capacitor e indutor com frequência
.
Passo 6
Resolvendo a EDO (método e interpretação): é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Montamos a equação característica
cuja solução é
. Logo a solução geral é combinação linear de seno e cosseno:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Expliquei: raízes puramente imaginárias -> oscilações harmônicas.
Passo 7
Como achar
e
a partir das condições iniciais (útil na prova): suponha que
e
. Então
e derivando
,
logo em
Assim a solução com condições iniciais fica
Passo 8
Expressão para a corrente e conservação de energia (intuição adicional): a corrente é
A energia total do circuito é
e usando a EDO verifica-se que
, ou seja, a energia é conservada (ela passa do capacitor para o indutor e vice‑versa), o que faz sentido porque não há resistência.