Use o Método das Diferenças Divididas (MDD) para determinar um polinômio que interpole o conjunto de dados abaixo e use-o para estimar o valor de x=4. Considere precisão de cinco casas decimais e apresenta a tabela usada para determinar os coeficientes do polinômio.
x 0.5 1.2 2 3.75 4.25 6.35 8.15 9.35
f(x) 5 7 9 10.5 8 7.5 9 13

Passo 1

O enunciado pede para usar o Método das Diferenças Divididas (MDD) e encontrar um polinômio interpolador de grau 7 que passe pelos pontos dados, além de estimar o valor em x=4 com precisão de cinco casas decimais. Vamos organizar os dados, aplicar a teoria das diferenças divididas para obter os coeficientes do polinômio de Newton e em seguida avaliar esse polinômio em x=4.

Passo 2

Primeiro, listamos os pares (x_i, f_i) e lembramos que a diferença dividida de ordem k é dada por
f[xi,dots,xi+k] = f[xi+1,dots,xi+k] - f[xi,dots,xi+k-1]xi+k - xi
Os dados são:
$$
c|cccccccc xi & 0.5 & 1.2 & 2.00 & 3.75 & 4.25 & 6.35 & 8.15 & 9.35hline fi & 5.00000 & 7.00000 & 9.00000 & 10.50000 & 8.00000 & 7.50000 & 9.00000 & 13.00000
$$

Passo 3

Montamos então a tabela de diferenças divididas (valores arredondados a cinco casas decimais):
c|c|c|c|c|c|c|c|c xi & fi & De

Passo 4

Os coeficientes do polinômio de Newton são as primeiras entradas de cada coluna de diferenças divididas:
a0 = f[0.5]=5.00000, a1=2.85714, a2=-0.23810, a3=-0.12594,
a4=-0.13747, a5=0.07867, a6=-0.02056, a7=0.00399

Passo 5

O polinômio de Newton fica então:
P7(x)=a0 + a1(x-0.5)+a2(x-0.5)(x-1.2)+cdots + a7(x-0.5)(x-1.2)cdots(x-9.35)

Passo 6

Para estimar em x=4, calculamos term a term:
P7(4)&=5.00000 + 2.85714(4-0.5) -0.23810(4-0.5)(4-1.2) & -0.12594(4-0.5)(4-1.2)(4-2) -0.13747(4-0.5)(4-1.2)(4-2)(4-3.75) & +0.07867,(4-0.5)(4-1.2)(4-2)(4-3.75)(4-4.25) & -0.02056,(4-0.5)cdots(4-4.25)(4-6.35) +0.00399,(4-0.5)cdots(4-8.15)
Fazendo as multiplicações e somas com arredondamento a cinco casas dá:

Passo 7

Somando todos os termos chegamos ao valor aproximado
P7(4)approx 9.32242

Resposta

9.32242

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