Use o Método das Diferenças Divididas (MDD) para determinar um polinômio que interpole o conjunto de dados abaixo e use-o para estimar o valor de
. Considere precisão de cinco casas decimais e apresenta a tabela usada para determinar os coeficientes do polinômio.
x | 0.5 | 1.2 | 2 | 3.75 | 4.25 | 6.35 | 8.15 | 9.35 |
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|
5 | 7 | 9 | 10.5 | 8 | 7.5 | 9 | 13 |
Passo 1
O enunciado pede para usar o Método das Diferenças Divididas (MDD) e encontrar um polinômio interpolador de grau 7 que passe pelos pontos dados, além de estimar o valor em x=4 com precisão de cinco casas decimais. Vamos organizar os dados, aplicar a teoria das diferenças divididas para obter os coeficientes do polinômio de Newton e em seguida avaliar esse polinômio em x=4.
Passo 2
Primeiro, listamos os pares (x_i, f_i) e lembramos que a diferença dividida de ordem k é dada por
Os dados são:
$$
$$
Passo 3
Montamos então a tabela de diferenças divididas (valores arredondados a cinco casas decimais):
Passo 4
Os coeficientes do polinômio de Newton são as primeiras entradas de cada coluna de diferenças divididas:
Passo 5
O polinômio de Newton fica então:
Passo 6
Para estimar em x=4, calculamos term a term:
Fazendo as multiplicações e somas com arredondamento a cinco casas dá:
Passo 7
Somando todos os termos chegamos ao valor aproximado
Resposta
9.32242