Verifique se os campos vetoriais são conservativos e, em caso afirmativo, encontre
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função escalar
tal que o gradiente de
seja igual a
, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e gradientes. Vamos dar uma olhada passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Isso também implica que o campo tem “curl” igual a zero, ou seja,
.
Então, nosso primeiro passo é calcular o “curl” de
e verificar se ele é realmente zero.
Passo 3
Vamos calcular o “curl” de
. O “curl” de um campo vetorial
é dado por:
Vamos identificar
,
e
do nosso
:
Passo 4
Vamos simplificar
,
e
antes de calcular as derivadas:
Para
:
Simplificando mais:
Fazendo o mesmo para
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o “curl”:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular as outras componentes do “curl”:
Então,
Passo 7
Finalmente, vamos calcular
e
:
Então,
Passo 8
Como todas as componentes do “curl” de
são iguais a zero, concluímos que
. Portanto, o campo vetorial
é conservativo.
Agora, precisamos encontrar a função escalar
tal que
.
Passo 9
Para encontrar
, vamos integrar as componentes de
em relação às suas respectivas variáveis, lembrando de considerar constantes de integração que podem depender das outras variáveis.
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é a função de integração que pode depender de
e
.
Passo 10
Agora, vamos calcular
e igualar a
:
Igualando a
:
Para que isso seja igual, temos:
Isso significa que
não depende de
, então
.
Passo 11
Finalmente, vamos calcular
e igualar a
:
Igualando a
:
Para que isso seja igual, temos:
Então,
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A função escalar
que satisfaz
é:
Onde
é uma constante.