Verifique se os campos vetoriais são conservativos e, em caso afirmativo, encontre f tal que nabla f=F.
F(x, y, z)=16 x^5 y z+100 x^2 y z+4 y z16 x^2 y^2 z^2 i-4 x^6 z+100 x^3 z-4 x z16 x^2 y^2 z^2 j-4 x^6 y+100 x^3 y-4 x y16 x^2 y^2 z^2 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o campo vetorial F(x, y, z) é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função escalar f tal que o gradiente de f seja igual a F , ou seja, nabla f = F .
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e gradientes. Vamos dar uma olhada passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar f tal que F = nabla f . Isso também implica que o campo tem “curl” igual a zero, ou seja, nabla times F = 0 .
Então, nosso primeiro passo é calcular o “curl” de F e verificar se ele é realmente zero.

Passo 3

Vamos calcular o “curl” de F . O “curl” de um campo vetorial F = P , i + Q , j + R , k é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Vamos identificar P , Q e R do nosso F :
P = 16 x^5 y z + 100 x^2 y z + 4 y z16 x^2 y^2 z^2 Q = -4 x^6 z + 100 x^3 z - 4 x z16 x^2 y^2 z^2 R = -4 x^6 y + 100 x^3 y - 4 x y16 x^2 y^2 z^2

Passo 4

Vamos simplificar P , Q e R antes de calcular as derivadas:
Para P :
P = 16 x^5 y z16 x^2 y^2 z^2 + 100 x^2 y z16 x^2 y^2 z^2 + 4 y z16 x^2 y^2 z^2 = x^3y z + 10016 y z + 416 x^2 y z
Simplificando mais:
P = x^3y z + 254 y z + 14 x^2 y z
Fazendo o mesmo para Q e R :
Q = -( 4 x^6 z16 x^2 y^2 z^2 + 100 x^3 z16 x^2 y^2 z^2 - 4 x z16 x^2 y^2 z^2 ) = -( x^44 y^2 z + 25 x4 y^2 z - 14 x y^2 z )
R = -( 4 x^6 y16 x^2 y^2 z^2 + 100 x^3 y16 x^2 y^2 z^2 - 4 x y16 x^2 y^2 z^2 ) = -( x^44 y z^2 + 25 x4 y z^2 - 14 x y z^2 )

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para o “curl”:
Primeiro, partial Rpartial y :
R = -( x^44 y z^2 + 25 x4 y z^2 - 14 x y z^2 )
partial Rpartial y = -( -x^44 y^2 z^2 - 25 x4 y^2 z^2 + 14 x y^2 z^2 ) = x^4 + 25 x - 1/(4x)4 y^2 z^2
Segundo, partial Qpartial z :
Q = -( x^44 y^2 z + 25 x4 y^2 z - 14 x y^2 z )
partial Qpartial z = -( -x^44 y^2 z^2 - 25 x4 y^2 z^2 + 14 x y^2 z^2 ) = x^4 + 25 x - 1/(4x)4 y^2 z^2
Então, partial Rpartial y - partial Qpartial z = 0

Passo 6

Agora, vamos calcular as outras componentes do “curl”:
partial Ppartial z e partial Rpartial x :
P = x^3y z + 254 y z + 14 x^2 y z
partial Ppartial z = -x^3y z^2 - 254 y z^2 - 14 x^2 y z^2
R = -( x^44 y z^2 + 25 x4 y z^2 - 14 x y z^2 )
partial Rpartial x = -( 4 x^34 y z^2 + 254 y z^2 + 14 x^2 y z^2 ) = -( x^3y z^2 + 254 y z^2 + 14 x^2 y z^2 )
Então,
partial Ppartial z - partial Rpartial x = ( -x^3y z^2 - 254 y z^2 - 14 x^2 y z^2 ) - ( -x^3y z^2 - 254 y z^2 - 14 x^2 y z^2 ) = 0

Passo 7

Finalmente, vamos calcular partial Qpartial x e partial Ppartial y :
Q = -( x^44 y^2 z + 25 x4 y^2 z - 14 x y^2 z )
partial Qpartial x = -( 4 x^34 y^2 z + 254 y^2 z + 14 x^2 y^2 z ) = -( x^3y^2 z + 254 y^2 z + 14 x^2 y^2 z )
P = x^3y z + 254 y z + 14 x^2 y z
partial Ppartial y = -x^3y^2 z - 254 y^2 z - 14 x^2 y^2 z
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -( x^3y^2 z + 254 y^2 z + 14 x^2 y^2 z ) - ( -x^3y^2 z - 254 y^2 z - 14 x^2 y^2 z ) = 0

Passo 8

Como todas as componentes do “curl” de F são iguais a zero, concluímos que nabla times F = 0 . Portanto, o campo vetorial F é conservativo.
Agora, precisamos encontrar a função escalar f tal que nabla f = F .

Passo 9

Para encontrar f , vamos integrar as componentes de F em relação às suas respectivas variáveis, lembrando de considerar constantes de integração que podem depender das outras variáveis.
Primeiro, integramos P em relação a x :
f(x, y, z) = integral P , dx = integral ( x^3y z + 254 y z + 14 x^2 y z ) dx = x^44 y z + 25 x4 y z - 14 x y z + g(y, z)
Aqui, g(y, z) é a função de integração que pode depender de y e z .

Passo 10

Agora, vamos calcular partial fpartial y e igualar a Q :
partial fpartial y = -x^44 y^2 z - 25 x4 y^2 z + 14 x y^2 z + partial gpartial y
Igualando a Q :
-( x^44 y^2 z + 25 x4 y^2 z - 14 x y^2 z ) = -( x^44 y^2 z + 25 x4 y^2 z - 14 x y^2 z ) = -x^44 y^2 z - 25 x4 y^2 z + 14 x y^2 z
Para que isso seja igual, temos:
partial gpartial y = 0
Isso significa que g não depende de y , então g(y, z) = h(z) .

Passo 11

Finalmente, vamos calcular partial fpartial z e igualar a R :
partial fpartial z = -x^44 y z^2 - 25 x4 y z^2 + 14 x y z^2 + d hd z
Igualando a R :
-( x^44 y z^2 + 25 x4 y z^2 - 14 x y z^2 ) = -x^44 y z^2 - 25 x4 y z^2 + 14 x y z^2
Para que isso seja igual, temos:
d hd z = 0
Então, h(z) é uma constante, que podemos chamar de C .

Resposta

A função escalar f que satisfaz nabla f = F é:
f(x, y, z) = x^44 y z + 25 x4 y z - 14 x y z + C
Onde C é uma constante.

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