Considere a EDO
x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-3 y=16 x^{3} \quad(x>0)
(a) (1,5) Encontre a solução geral da EDO linear homogênea associada à EDO (2).
(b) (1,5) Use o Método de variação dos parâmetros para determinar uma solução particular da EDO (2).
(c) (0,5) Determine a solução geral da EDO (2).
(d) (1,5) Resolva o PVI
\left\{\begin{array}{l} x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-3 y=16 x^{3} \\\ y(1)=0 \\\ y^{\prime}(1)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x^{2}y''-x y'-3y=16x^{3},\qquad x>0
e pede quatro coisas:
  1. (a) Encontrar a solução geral da EDO homogênea associada.
  2. (b) Usar o método de variação de parâmetros para determinar uma solução particular da EDO não-homogênea.
  3. (c) Determinar a solução geral da EDO completa (homogênea + particular).
  4. (d) Resolver o PVI com condições iniciais y(1)=0 e y'(1)=2.
Informações relevantes que já temos do enunciado: o coeficiente da segunda derivada é x^{2} (logo a equação é de Euler/Cauchy), o termo não-homogêneo é 16x^{3} e a equação vale para x>0. A resolução começará a seguir.

Passo 2

Resolver a homogênea: primeiro escrevemos a EDO homogênea associada
x^{2}y''-x y'-3y=0.
Para este tipo de equação (equação de Euler/Cauchy) tentamos uma solução do tipo y=x^{m}, onde m é uma constante a determinar. Vamos explicar por que isso funciona: para uma equação com potências de x escalonadas ( x^{2},x,1), testar x^{m} transforma a EDO numa equação algébrica para m.
Calcule y',y'' de y=x^{m}:
y'=m x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na homogênea:
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big)-x\big(m x^{m-1}\big)-3x^{m}=0.
Fatorando x^{m} (que é não-nulo para x>0):
\big(m(m-1)-m-3\big)x^{m}=0 \quad\Rightarrow\quad m(m-1)-m-3=0.
Simplificando o polinômio em m:
m^{2}-2m-3=0.
Resolver essa quadrática:
m^{2}-2m-3=(m-3)(m+1)=0 \quad\Rightarrow\quad m=3\\ \text{ou}\\ m=-1.
Como as duas raízes são reais e distintas, as soluções fundamentais da homogênea são
y_{1}(x)=x^{3},\qquad y_{2}(x)=x^{-1}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-1},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Preparação para variação de parâmetros: primeiro colocamos a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x). Dividimos por x^{2} (válido pois x>0):
y''-\frac{1}{x}y'-\frac{3}{x^{2}}y=16x.
Aqui P(x)=-\dfrac{1}{x}, Q(x)=-\dfrac{3}{x^{2}} e o termo não-homogêneo é R(x)=16x.
Breve lembrete do método de variação de parâmetros (passo-a-passo): partimos de uma combinação linear com coeficientes agora variáveis,
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde y_{1},y_{2} são as soluções fundamentais da homogênea. Impomos a condição auxiliar
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0
para simplificar as equações, e então usamos a equação original para obter a segunda equação para u_{1}',u_{2}'. Uma forma prática usa o wronskiano W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2} e as fórmulas
u_{1}'=-\frac{R(x)\,y_{2}}{W},\qquad u_{2}'=\frac{R(x)\,y_{1}}{W},
quando a EDO está na forma y''+P y'+Q y = R. Vamos aplicar isso.
Calcule o Wronskiano para y_{1}=x^{3} e y_{2}=x^{-1}:
y_{1}'=3x^{2},\qquad y_{2}'=-x^{-2},
W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=x^{3}(-x^{-2})-3x^{2}\cdot x^{-1}=-x-3x=-4x.
Observação: W=-4x e para x>0 é diferente de zero, logo o método é aplicável.

Passo 4

Aplicar as fórmulas para u_{1}' e u_{2}'. Lembrando que R(x)=16x:
u_{1}'=-\frac{R(x)\,y_{2}}{W}=-\frac{16x\cdot x^{-1}}{-4x},
calcule passo a passo: 16x\cdot x^{-1}=16, então
u_{1}'=-\frac{16}{-4x}=\frac{4}{x}.
Agora u_{2}':
u_{2}'=\frac{R(x)\,y_{1}}{W}=\frac{16x\cdot x^{3}}{-4x}.
Calcule passo a passo: 16x\cdot x^{3}=16x^{4} e dividindo por -4x
u_{2}'=-4x^{3}.

Passo 5

Integrar u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1},u_{2}. Integramos escolhendo as constantes de integração iguais a zero (essas constantes só reproduziriam termos da solução homogênea e por isso são omissas na construção de uma particular).
Integrando u_{1}'=\dfrac{4}{x}:
u_{1}(x)=\int \frac{4}{x}\,dx=4\ln x.
Integrando u_{2}'=-4x^{3}:
u_{2}(x)=\int -4x^{3}\,dx=-x^{4}.
Agora construímos a solução particular
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)=4\ln x\cdot x^{3}+(-x^{4})\cdot x^{-1}.
Simplificando os termos:
y_{p}(x)=4x^{3}\ln x - x^{3}=x^{3}\big(4\ln x -1\big).

Passo 6

Escrever a solução geral da EDO completa somando homogênea e particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-1}+x^{3}\big(4\ln x -1\big).
Podemos agrupar os termos em x^{3} se quisermos:
y(x)=x^{3}\big(C_{1}+4\ln x -1\big)+C_{2}x^{-1}.
Isso responde a parte (c).

Passo 7

Resolver o PVI: primeiro precisamos da derivada y'(x). Partimos da forma
y(x)=x^{3}\big(C_{1}+4\ln x -1\big)+C_{2}x^{-1}.
Derivamos termo a termo. Use a regra do produto para x^{3}\big(C_{1}+4\ln x -1\big): trate x^{3} e \big(C_{1}+4\ln x -1\big) como dois fatores.
Derivada do primeiro fator x^{3} é 3x^{2}. Derivada do segundo fator \big(C_{1}+4\ln x -1\big) é \dfrac{4}{x} (porque C_{1} e -1 são constantes).
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big[x^{3}(C_{1}+4\ln x -1)\big]=3x^{2}(C_{1}+4\ln x -1)+x^{3}\cdot\frac{4}{x}.
Simplificando o último termo x^{3}\cdot\frac{4}{x}=4x^{2}. Portanto essa derivada é
3x^{2}(C_{1}+4\ln x -1)+4x^{2}=x^{2}\big(3C_{1}+12\ln x -3+4\big)=x^{2}\big(3C_{1}+12\ln x +1\big).
Derivada de C_{2}x^{-1} é -C_{2}x^{-2}. Logo, no total,
y'(x)=x^{2}\big(3C_{1}+12\ln x +1\big)-C_{2}x^{-2}.

Passo 8

Aplicar as condições iniciais em x=1\). Primeiro calcule \(y(1)\) usando a expressão da Passo 6: \[y(1)=1^{3}\big(C_{1}+4\ln 1 -1\big)+C_{2}\cdot 1^{-1}=C_{1}+4\cdot 0 -1 +C_{2}=C_{1}+C_{2}-1.
A condição y(1)=0
C_{1}+C_{2}-1=0\quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=1. \tag{I}
Agora y'(1). Usando a expressão de y'(x) do Passo 7 e lembrando \ln 1=0 e 1^{2}=1:
y'(1)=1^{2}\big(3C_{1}+12\cdot 0 +1\big)-C_{2}\cdot 1^{-2}=3C_{1}+1-C_{2}.
A condição y'(1)=2
3C_{1}+1-C_{2}=2\quad\Rightarrow\quad 3C_{1}-C_{2}=1. \tag{II}
Resolver o sistema linear formado por (I) e (II):
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] 3C_{1}-C_{2}=1. \end{cases}
Somando as duas equações obtemos (4C_{1}=2], logo
C_{1}=\tfrac{1}{2}.
Substituindo em (I):
\tfrac{1}{2}+C_{2}=1\quad\Rightarrow\quad C_{2}=\tfrac{1}{2}.]

Passo 9

Substituir C_{1}=\tfrac{1}{2} e C_{2}=\tfrac{1}{2} na solução geral para apresentar a solução do PVI. Usando a forma conveniente:
y(x)=x^{3}\big(C_{1}+4\ln x -1\big)+C_{2}x^{-1},
temos
y(x)=x^{3}\big(\tfrac{1}{2}+4\ln x -1\big)+\tfrac{1}{2}x^{-1}=x^{3}\big(4\ln x -\tfrac{1}{2}\big)+\tfrac{1}{2}x^{-1}.
Se quiser expandir:
y(x)=4x^{3}\ln x -\tfrac{1}{2}x^{3}+\tfrac{1}{2}x^{-1}.

Resposta

(a) y_{h}(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-1}.
(b) y_{p}(x)=x^{3}\big(4\ln x -1\big).
(c) y(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-1}+x^{3}\big(4\ln x -1\big).
(d) y(x)=x^{3}\big(4\ln x -\tfrac{1}{2}\big)+\tfrac{1}{2}x^{-1}.

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