(a) (1,5) Encontre a solução geral da EDO linear homogênea associada à EDO (2).
(b) (1,5) Use o Método de variação dos parâmetros para determinar uma solução particular da EDO (2).
(c) (0,5) Determine a solução geral da EDO (2).
(d) (1,5) Resolva o PVI
(a) Encontrar a solução geral da EDO homogênea associada.
(b) Usar o método de variação de parâmetros para determinar uma solução particular da EDO não-homogênea.
(c) Determinar a solução geral da EDO completa (homogênea + particular).
(d) Resolver o PVI com condições iniciais y(1)=0 e y'(1)=2.
Informações relevantes que já temos do enunciado: o coeficiente da segunda derivada é x^{2} (logo a equação é de Euler/Cauchy), o termo não-homogêneo é 16x^{3} e a equação vale para x>0. A resolução começará a seguir.
Passo 2
Resolver a homogênea: primeiro escrevemos a EDO homogênea associada
x^{2}y''-x y'-3y=0.
Para este tipo de equação (equação de Euler/Cauchy) tentamos uma solução do tipo y=x^{m}, onde m é uma constante a determinar. Vamos explicar por que isso funciona: para uma equação com potências de x escalonadas (x^{2},x,1), testar x^{m} transforma a EDO numa equação algébrica para m.
Como as duas raízes são reais e distintas, as soluções fundamentais da homogênea são
y_{1}(x)=x^{3},\qquad y_{2}(x)=x^{-1}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-1},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Preparação para variação de parâmetros: primeiro colocamos a EDO na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x). Dividimos por x^{2} (válido pois x>0):
y''-\frac{1}{x}y'-\frac{3}{x^{2}}y=16x.
Aqui P(x)=-\dfrac{1}{x}, Q(x)=-\dfrac{3}{x^{2}} e o termo não-homogêneo é R(x)=16x.
Breve lembrete do método de variação de parâmetros (passo-a-passo): partimos de uma combinação linear com coeficientes agora variáveis,
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde y_{1},y_{2} são as soluções fundamentais da homogênea. Impomos a condição auxiliar
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0
para simplificar as equações, e então usamos a equação original para obter a segunda equação para u_{1}',u_{2}'. Uma forma prática usa o wronskiano W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2} e as fórmulas
Calcule passo a passo: 16x\cdot x^{3}=16x^{4} e dividindo por -4x dá
u_{2}'=-4x^{3}.
Passo 5
Integrar u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1},u_{2}. Integramos escolhendo as constantes de integração iguais a zero (essas constantes só reproduziriam termos da solução homogênea e por isso são omissas na construção de uma particular).
y_{p}(x)=4x^{3}\ln x - x^{3}=x^{3}\big(4\ln x -1\big).
Passo 6
Escrever a solução geral da EDO completa somando homogênea e particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-1}+x^{3}\big(4\ln x -1\big).
Podemos agrupar os termos em x^{3} se quisermos:
y(x)=x^{3}\big(C_{1}+4\ln x -1\big)+C_{2}x^{-1}.
Isso responde a parte (c).
Passo 7
Resolver o PVI: primeiro precisamos da derivada y'(x). Partimos da forma
y(x)=x^{3}\big(C_{1}+4\ln x -1\big)+C_{2}x^{-1}.
Derivamos termo a termo. Use a regra do produto para x^{3}\big(C_{1}+4\ln x -1\big): trate x^{3} e \big(C_{1}+4\ln x -1\big) como dois fatores.
Derivada do primeiro fator x^{3} é 3x^{2}. Derivada do segundo fator \big(C_{1}+4\ln x -1\big) é \dfrac{4}{x} (porque C_{1} e -1 são constantes).
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big[x^{3}(C_{1}+4\ln x -1)\big]=3x^{2}(C_{1}+4\ln x -1)+x^{3}\cdot\frac{4}{x}.
Simplificando o último termo x^{3}\cdot\frac{4}{x}=4x^{2}. Portanto essa derivada é
3x^{2}(C_{1}+4\ln x -1)+4x^{2}=x^{2}\big(3C_{1}+12\ln x -3+4\big)=x^{2}\big(3C_{1}+12\ln x +1\big).
Derivada de C_{2}x^{-1} é -C_{2}x^{-2}. Logo, no total,
y'(x)=x^{2}\big(3C_{1}+12\ln x +1\big)-C_{2}x^{-2}.
Passo 8
Aplicar as condições iniciais em x=1\). Primeiro calcule \(y(1)\) usando a expressão da Passo 6:
\[y(1)=1^{3}\big(C_{1}+4\ln 1 -1\big)+C_{2}\cdot 1^{-1}=C_{1}+4\cdot 0 -1 +C_{2}=C_{1}+C_{2}-1.
Somando as duas equações obtemos (4C_{1}=2], logo C_{1}=\tfrac{1}{2}.
Substituindo em (I): \tfrac{1}{2}+C_{2}=1\quad\Rightarrow\quad C_{2}=\tfrac{1}{2}.]
Passo 9
Substituir C_{1}=\tfrac{1}{2} e C_{2}=\tfrac{1}{2} na solução geral para apresentar a solução do PVI. Usando a forma conveniente:
y(x)=x^{3}\big(C_{1}+4\ln x -1\big)+C_{2}x^{-1},
temos
y(x)=x^{3}\big(\tfrac{1}{2}+4\ln x -1\big)+\tfrac{1}{2}x^{-1}=x^{3}\big(4\ln x -\tfrac{1}{2}\big)+\tfrac{1}{2}x^{-1}.
Se quiser expandir:
y(x)=4x^{3}\ln x -\tfrac{1}{2}x^{3}+\tfrac{1}{2}x^{-1}.
Resposta
(a) y_{h}(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-1}.
(b) y_{p}(x)=x^{3}\big(4\ln x -1\big).
(c) y(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-1}+x^{3}\big(4\ln x -1\big).
(d) y(x)=x^{3}\big(4\ln x -\tfrac{1}{2}\big)+\tfrac{1}{2}x^{-1}.