Obtenha os limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. Não há outras informações nem figura. A tarefa é encontrar o valor do limite quando
se aproxima de
.
Passo 2
Verifico o tipo de indeterminação fazendo a substituição direta
. Calculo o numerador e o denominador em
:
Logo a expressão tem forma indeterminada
. Isso indica que podemos tentar simplificar a expressão algébrica (fatorando) para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Faço a fatoração do numerador
. Procuro dois números cujo produto seja
(termo independente) e cuja soma seja
(coeficiente de
). Esses números são
e
, portanto o polinômio fatorado é
Explicando rapidinho: como
, a fatoração está correta.
Passo 4
Faço a fatoração do denominador
. Uso a fórmula da diferença de cubos:
Tomando
e
, obtemos
Passo 5
Substituo as fatorações na expressão do limite:
Como estamos calculando um limite e não avaliando exatamente em
, posso cancelar o fator comum
para
. Assim a expressão simplificada (válida para
próximo de
,
) é
Passo 6
Agora que a indeterminação foi removida, faço a substituição direta
na expressão simplificada:
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 7
(Dica/checagem) Uma alternativa é aplicar a Regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador e avaliando em
. Derivadas: numerador
, denominador
. Avaliando em
obtemos
, confirmação do resultado.