Obtenha os limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-4 x+3}{x^{3}-1}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-4x+3}{x^{3}-1}.
Informações dadas: o numerador é x^{2}-4x+3 e o denominador é x^{3}-1. Não há outras informações nem figura. A tarefa é encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Verifico o tipo de indeterminação fazendo a substituição direta x=1. Calculo o numerador e o denominador em x=1:
1^{2}-4\cdot1+3 = 1-4+3 = 0,
1^{3}-1 = 1-1 = 0.
Logo a expressão tem forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso indica que podemos tentar simplificar a expressão algébrica (fatorando) para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Faço a fatoração do numerador x^{2}-4x+3. Procuro dois números cujo produto seja 3 (termo independente) e cuja soma seja -4 (coeficiente de x). Esses números são -1 e -3, portanto o polinômio fatorado é
x^{2}-4x+3 = (x-1)(x-3).
Explicando rapidinho: como (x-1)(x-3)=x^{2}-3x-x+3=x^{2}-4x+3, a fatoração está correta.

Passo 4

Faço a fatoração do denominador x^{3}-1. Uso a fórmula da diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Tomando a=x e b=1, obtemos
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).

Passo 5

Substituo as fatorações na expressão do limite:
\frac{x^{2}-4x+3}{x^{3}-1}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}.
Como estamos calculando um limite e não avaliando exatamente em x=1, posso cancelar o fator comum (x-1) para x\neq 1. Assim a expressão simplificada (válida para x próximo de 1, x\neq 1) é
\frac{x-3}{x^{2}+x+1}.

Passo 6

Agora que a indeterminação foi removida, faço a substituição direta x=1 na expressão simplificada:
\frac{1-3}{1^{2}+1+1}=\frac{-2}{1+1+1}=\frac{-2}{3}.
Portanto o limite existe e vale -\tfrac{2}{3}.

Passo 7

(Dica/checagem) Uma alternativa é aplicar a Regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador e avaliando em x=1. Derivadas: numerador \,2x-4, denominador \,3x^{2}. Avaliando em x=1 obtemos \tfrac{2\cdot1-4}{3\cdot1^{2}}=\tfrac{-2}{3}, confirmação do resultado.

Resposta

-\dfrac{2}{3}

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