Considere a EDO
.
Obtenha a sua solução geral quando
.
Obtenha a sua solução geral quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem:
Aqui, o conteúdo que vamos usar envolve resolução de EDOs lineares com coeficientes constantes e método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Primeiro, precisamos resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, montamos a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{rx} $:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Vamos tentar encontrar as raízes fatorando o polinômio. Podemos tentar $ r = -1 $:
Então, $ r = -1 $ é uma raiz. Podemos fatorar o polinômio:
Isso nos dá:
Passo 4
Resolvendo as equações fatoradas:
-
Para $ r + 1 = 0 $:
-
Para $ r^2 + 1 = 0 $:
Então, as raízes são $ r = -1, , i, , -i $.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é $ 30 e^{2x} $, vamos supor uma solução particular da forma:
Onde $ A $ é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Derivando $ y_p $:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo para $ A $:
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias.