Considere a EDO y^prime prime prime+y^prime prime+y^prime+y=G(x).
Obtenha a sua solução geral quando G(x)=30 e^2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem:
y''' + y'' + y' + y = 30 e^2x
Aqui, o conteúdo que vamos usar envolve resolução de EDOs lineares com coeficientes constantes e método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Primeiro, precisamos resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
y''' + y'' + y' + y = 0
Para isso, montamos a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{rx} $:
y

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^3 + r^2 + r + 1 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes fatorando o polinômio. Podemos tentar $ r = -1 $:
r = -1
Então, $ r = -1 $ é uma raiz. Podemos fatorar o polinômio:
(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 -1 +1 = 0
Isso nos dá:
r = -1

Passo 4

Resolvendo as equações fatoradas:
  1. Para $ r + 1 = 0 $:
    r + 1 = 0
  2. Para $ r^2 + 1 = 0 $:
    r = -1
Então, as raízes são $ r = -1, , i, , -i $.

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^-x + C2 cos(x) + C3 sin(x)
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa:
yp
Como o termo não homogêneo é $ 30 e^{2x} $, vamos supor uma solução particular da forma:
y''' + y'' + y' + y = 30 e^2x
Onde $ A $ é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Derivando $ y_p $:
yp
yp' = 2A e^2x
yp'' = 4A e^2x
Substituindo na equação original:
yp''' = 8A e^2x
Simplificando:
8A e^2x + 4A e^2x + 2A e^2x + A e^2x = 30 e^2x

Passo 8

Resolvendo para $ A $:
A
Então, a solução particular é:
15A = 30 Rightarrow A = 2

Passo 9

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^-x + C2 cos(x) + C3 sin(x) + 2 e^2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^-x + C2 cos(x) + C3 sin(x) + 2 e^2x
Onde $ C_1, C_2, C_3 $ são constantes arbitrárias.

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