Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais, usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
y^prime prime+4 y=x^2 sen(2 x)+(6 x+7) cos (2 x).

Passo 1

Temos a equação diferencial
y''+4y=x^2sin(2x)+(6x+7)cos(2x)
O conteúdo é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A parte homogênea satisfaz
y''+4y=0
A equação característica é
r^2+4=0
cuja solução é r=pm 2i. Portanto a solução geral homogênea é
yh(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)

Passo 3

Como o termo não homogêneo é da forma P(x)sin(2x)+Q(x)cos(2x) e sin(2x),cos(2x) já aparecem na homogênea, multiplicamos nosso palpite por x. Fazemos o ansatz
yp(x)=xl((Ax^2+Bx+C)sin(2x)+(Dx^2+Ex+F)cos(2x)r)

Passo 4

Para determinar A,B,C,D,E,F, escrevemos
yp(x)=U(x)sin(2x)+V(x)cos(2x),
com U(x)=Ax^3+Bx^2+Cx e V(x)=Dx^3+Ex^2+Fx. Calculamos as derivadas de forma sistemática e montamos
yp''+4yp=(P' -2Q+4U)sin(2x)+(Q'+2P+4V)cos(2x),
onde P=U'-2V e Q=V'+2U. Igualamos aos termos de x^2sin(2x)+(6x+7)cos(2x) e obtemos um sistema para os coeficientes.

Passo 5

Resolvendo o sistema achamos
A=0, B=tfrac1316, C=tfrac74, D=-tfrac112, E=0, F=tfrac1332
Assim
$$y_p(x)=\Bigl(\tfrac{13}{16}x2+\tfrac{7}{4}x\Bigr)\sin(2x)+\Bigl(-\tfrac{1}{12}x3+\tfrac{13}{32}x\Bigr)\cos(2x).
$$

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:

Passo 7

$$y(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+\Bigl(\tfrac{13}{16}x2+\tfrac{7}{4}x\Bigr)\sin(2x)+\Bigl(-\tfrac{1}{12}x3+\tfrac{13}{32}x\Bigr)\cos(2x).
$$

Resposta

y(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)+l(tfrac1316x^2+tfrac74xr)sin(2x)+l(-tfrac112x^3+tfrac1332xr)cos(2x)

Exercícios relacionados