Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais, usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
.
Passo 1
Temos a equação diferencial
O conteúdo é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
A parte homogênea satisfaz
A equação característica é
cuja solução é
. Portanto a solução geral homogênea é
Passo 3
Como o termo não homogêneo é da forma
e
já aparecem na homogênea, multiplicamos nosso palpite por
. Fazemos o ansatz
Passo 4
Para determinar
, escrevemos
com
onde
e
. Igualamos aos termos de
e obtemos um sistema para os coeficientes.
Passo 5
Resolvendo o sistema achamos
Assim
$$y_p(x)=\Bigl(\tfrac{13}{16}x2+\tfrac{7}{4}x\Bigr)\sin(2x)+\Bigl(-\tfrac{1}{12}x3+\tfrac{13}{32}x\Bigr)\cos(2x).
$$
Passo 6
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
Passo 7
$$y(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+\Bigl(\tfrac{13}{16}x2+\tfrac{7}{4}x\Bigr)\sin(2x)+\Bigl(-\tfrac{1}{12}x3+\tfrac{13}{32}x\Bigr)\cos(2x).
$$