Considere o problema de Dirichlet
ur r(r, theta)+1r ur(r, theta)+1r^2 utheta theta(r, theta)=0, & r>a, 0= a u(a, theta)=f(theta), & 0 <= theta <= alpha
Suponha que u esteja bem definida e seja limitada na região.
Encontre a solução no caso em que a=1, alpha=pi / 4, e f(theta)=1.

Passo 1

A questão pede a solução de Laplace num “superfície” exterior ao círculo de raio a=1, num setor angular de abertura α=π/4, com u=0 nas arestas θ=0 e θ=α e u(1,θ)=1. O conteúdo principal é separação de variáveis em coordenadas polares e expansão em séries de Fourier senoidais.

Passo 2

Para separar variáveis, supomos u(r,θ)=R®Θ(θ). Substituindo em u_{rr}+(1/r)u_r+(1/r^2)u_{θθ}=0 e dividindo por RΘ, obtemos r^2 R’’/R + r R’/R = −Θ’’/(Θ)=λ^2, onde λ^2 é constante de separação.

Passo 3

A equação angular é Θ’’+λ^2 Θ=0 com Θ(0)=0 e Θ(α)=0. As soluções não-triviais exigem λ_n α=nπ, logo λ_n=nπ/α=4n. As autofunções são Θ_n(θ)=sin(4nθ).

Passo 4

A equação radial fica r^2 R’’+r R’−(4n)^2 R=0. As soluções gerais são r^{4n} e r^{-4n}. Como queremos u limitada em r→∞, descartamos r^{4n} e mantemos R_n®=r^{-4n}.

Passo 5

Montando a série de soluções: u(r,θ)=sumn=1^inftyAn ,r^-4nsin(4nθ) Restou ajustar coeficientes A_n para respeitar u(1,θ)=f(θ)=1.

Passo 6

Expandimos f(θ)=1 em senos em 0<θ<π/4: 1=sumn=1^infty Ansin(4nθ) Os coeficientes são dados por An=2αintegral0^α1sin(4nθ),dθ=8πintegral0^π/4sin(4nθ),dθ

Passo 7

Calculando a integral: integral0^π/4sin(4nθ),dθ=[-14ncos(4nθ)]0^π/4=1-(-1)^n4n Logo An=8π1-(-1)^n4n=2π nl(1-(-1)^nr) Isso anula termos pares e, para n=2k-1 ímpar, dá A_{2k-1}=4/[π(2k-1)].

Passo 8

Substituindo de volta, escrevemos a solução como série sobre k=1,2,3,…: u(r,θ)=sumk=1^infty4pi(2k-1),r^-4(2k-1)sinl(4(2k-1)θr)

Passo 9

Essa fórmula satisfaz Laplace, u=0 em θ=0,θ=π/4, u(1,θ)=1 e é limitada em r→∞.

Resposta

u(r,θ)=sumk=1^infty4pi(2k-1),r^-4(2k-1)sinl(4(2k-1)θr)

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