Considere a EDO y^{\prime \prime}(x)=y^{\prime}(x)-y(x)+e^{x}+\sin (x) e as informações y(0)=2 e y^{\prime}(0)=1. Usando h=0,25, estime a imagem de 0,5 usando o método adequado da Lista 1 que possui menor erro.
Lista 1:
  • Opção A: Diferenças Finitas avançada e de segunda ordem
  • Opção B: Diferenças Finitas centrada e de segunda ordem
  • Opção C: Método de Série de Taylor de ordem 1
  • Opção D: Método de Euler
  • Opção E: Método Runge-Kutta de ordem 1
  • Opção F: Método Runge-Kutta de ordem 2 com a_{1}=1 / 4

Passo 1

O enunciado pede: estimar a imagem de 0,5 (isto é, y(0,5)) para a EDO
y''(x)=y'(x)-y(x)+e^{x}+\sin(x)
com condições iniciais
y(0)=2,\qquad y'(0)=1
usando h=0,25 e escolhendo, entre as opções da Lista 1, o método adequado que tenha menor erro. São dadas as opções A a F. Informação numérica disponível: passo h=0,25. Pede-se o valor aproximado de y(0,5).

Passo 2

Transformar a EDO de segunda ordem em um sistema de primeira ordem (isso é padrão para aplicar métodos de Runge–Kutta). Defino as variáveis
u_1(x)=y(x),\qquad u_2(x)=y'(x).
Então
u_1'(x)=u_2(x),
u_2'(x)=u_2(x)-u_1(x)+e^{x}+\sin(x).
Escrevo vetorialmente u=(u_1,u_2)^\top e u'=f(x,u) com
f\big(x,\begin{pmatrix}u_1\u_2\end{pmatrix}\big) = \begin{pmatrix} u_2\\[4pt] u_2-u_1+e^{x}+\sin(x) \end{pmatrix}.
Condição inicial em termos de u:
u(0)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Escolha do método: entre as opções, os ordens típicas são
\text{Euler / RK1 / Taylor ordem 1: ordem 1 (erro global O(h))},
\text{RK2: ordem 2 (erro global O(h^2))}.
Portanto o método com menor erro é um método de ordem 2. Na Lista 1 a opção que corresponde a Runge–Kutta de ordem 2 é a opção F (com a_1=1/4). Vou usar essa opção F.
Explicando o método RK2 (família de dois estágios) de forma didática:
  • Temos as duas fases (estágios) por passo: primeiro calculamos k_1=f(x_n,u_n), depois um estágio intermediário em x_n+a\,h usando u_n+a\,h\,k_1, obtendo k_2=f(x_n+a h,\;u_n+a h k_1).
  • A fórmula de avanço é
u_{n+1}=u_n+h\big(b_1 k_1 + b_2 k_2\big).
  • Para a ordem 2, as condições (consistência) exigem
b_1+b_2=1,\qquad b_2 a=\tfrac{1}{2}.
  • Tomando a=a_1=\tfrac{1}{4} (dado no enunciado), obtemos
b_2=\frac{1}{2a}=\frac{1}{2\cdot(1/4)}=2,\qquad b_1=1-b_2=1-2=-1.
Assim, com a=\tfrac{1}{4} o método fica explícito:
k_1=f(x_n,u_n),
k_2=f\big(x_n+\tfrac{1}{4}h,\;u_n+\tfrac{1}{4}h\,k_1\big),
u_{n+1}=u_n+h\big(-k_1+2k_2\big).
Ou seja, o passo usa uma combinação linear -1 e 2 dos estágios; é um membro da família explícita de RK2 e tem ordem 2.

Passo 4

Configuro a malha e o objetivo:
  • x_0=0, u(0)=(2,1)^\top.
  • h=\tfrac{1}{4}=0,25.
    Queremos u em x=0,5. Com h=0,25 precisamos de dois passos: de x_0=0 para x_1=0,25 e de x_1 para x_2=0,5.
Vou computar passo-a-passo com aproximações decimais; quando precisar de e^{x} e \sin x vou usar desenvolvimento em série (Taylor) truncado para obter valores com precisão suficiente sem calculadora.
Passo 1: de x_0=0 para x_1=0,25.
Dados iniciais:
u_0=\begin{pmatrix}u_{1,0}\\[4pt]u_{2,0}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Calculo k_1=f(x_0,u_0):
k_{1,1}=u_{2,0}=1,
k_{1,2}=u_{2,0}-u_{1,0}+e^{0}+\sin(0)=1-2+1+0=0.
Portanto
k_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Agora a h=\tfrac{1}{4}\cdot 0,25=0,0625. O ponto intermediário é x=0,0625 e
u_{0,\text{temp}}=u_0+0,0625\,k_1 =\begin{pmatrix}2+0,0625\cdot 1\\[4pt]1+0,0625\cdot 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2,0625\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Precisamos de e^{0,0625} e \sin(0,0625). Uso séries:
e^{0,0625}\approx 1+0,0625+\frac{0,0625^{2}}{2}+\frac{0,0625^{3}}{6} \approx 1+0,0625+0,001953125+0,00004069\approx 1,06449445.
\sin(0,0625)\approx 0,0625-\frac{0,0625^{3}}{6}\approx 0,0625-0,00004069\approx 0,06245931.
Calculo k_2=f(0,0625,u_{0,\text{temp}}):
k_{2,1}=u_{2,\text{temp}}=1,
k_{2,2}=u_{2,\text{temp}}-u_{1,\text{temp}}+e^{0,0625}+\sin(0,0625) =1-2,0625+1,06449445+0,06245931.
Somando e^{0,0625}+\sin(0,0625)\approx 1,12695376. Então
k_{2,2}\approx -1,0625+1,12695376=0,06445376.
Logo
k_2\approx\begin{pmatrix}1\\[4pt]0,06445376\end{pmatrix}.
Atualizo u_1 por
u_1=u_0+h\big(-k_1+2k_2\big).
Compute componente a componente:
Primeira componente:
\Delta u_1^{(1)}=0,25\big(-1+2\cdot 1\big)=0,25\cdot 1=0,25,
u_{1,1}=2+0,25=2,25.
Segunda componente:
\Delta u_1^{(2)}=0,25\big(-0+2\cdot 0,06445376\big)=0,25\cdot 0,12890752=0,03222688,
u_{2,1}=1+0,03222688=1,03222688.
Portanto em x_1=0,25 temos
u_1\approx\begin{pmatrix}2,25\\[4pt]1,03222688\end{pmatrix}.]

Passo 5

Passo 2: de x_1=0,25 para x_2=0,5.
Dados atuais:
u_1=\begin{pmatrix}2,25\\[4pt]1,03222688\end{pmatrix},\qquad x_1=0,25.
Calculo k_1=f(x_1,u_1):
k_{1,1}=u_{2,1}=1,03222688,
k_{1,2}=u_{2,1}-u_{1,1}+e^{0,25}+\sin(0,25).
Preciso de e^{0,25} e \sin(0,25). Valores (série ou tabelas aproximadas):
e^{0,25}\approx 1,28402542,\qquad \sin(0,25)\approx 0,24740396.
Soma e^{0,25}+\sin(0,25)\approx 1,53142938.
Então
k_{1,2}\approx 1,03222688-2,25+1,53142938=-1,21777312+1,53142938=0,31365626.
Portanto
k_1\approx\begin{pmatrix}1,03222688\\[4pt]0,31365626\end{pmatrix}.
Calculo ponto intermediário: a h=0,0625 de novo, então x=0,3125 e
u_{1,\text{temp}}=u_1+0,0625\,k_1 =\begin{pmatrix} 2,25+0,0625\cdot 1,03222688\\[4pt] 1,03222688+0,0625\cdot 0,31365626 \end{pmatrix}.
Compute: 1,03222688/16=0,06451418 (dividindo por 16). Então
u_{1,\text{temp}}^{(1)}\approx 2,25+0,06451418=2,31451418.
E 0,31365626/16=0,01960352, então
u_{1,\text{temp}}^{(2)}\approx 1,03222688+0,01960352=1,05183040.
Agora preciso de e^{0,3125} e \sin(0,3125). Uso séries:
e^{0,3125}\approx 1+0,3125+\frac{0,3125^{2}}{2}+\frac{0,3125^{3}}{6}+\frac{0,3125^{4}}{24}\approx 1,36683659,
\sin(0,3125)\approx 0,3125-\frac{0,3125^{3}}{6}+\frac{0,3125^{5}}{120}\approx 0,30743857.
Soma e^{0,3125}+\sin(0,3125)\approx 1,36683659+0,30743857=1,67427516.
Calculo k_2=f(0,3125,u_{1,\text{temp}}):
k_{2,1}=u_{1,\text{temp}}^{(2)}\approx 1,05183040,
k_{2,2}=u_{1,\text{temp}}^{(2)}-u_{1,\text{temp}}^{(1)}+e^{0,3125}+\sin(0,3125).
Substituindo:
k_{2,2}\approx 1,05183040-2,31451418+1,67427516=-1,26268378+1,67427516=0,41159138.
Assim
k_2\approx\begin{pmatrix}1,05183040\\[4pt]0,41159138\end{pmatrix}.]

Passo 6

Atualizo para x_2=0,5 com a regra do método:
u_2=u_1+0,25\big(-k_1+2k_2\big).
Calculo incremento componente a componente.
Primeira componente do incremento:
\Delta u^{(1)}=0,25\big(-1,03222688+2\cdot 1,05183040\big) =0,25\big(-1,03222688+2,10366080\big) =0,25\cdot 1,07143392=0,26785848.
Então
u_{1,2}=2,25+0,26785848=2,51785848.
Segunda componente do incremento:
\Delta u^{(2)}=0,25\big(-0,31365626+2\cdot 0,41159138\big) =0,25\big(-0,31365626+0,82318276\big) =0,25\cdot 0,50952650=0,12738162.
Então
u_{2,2}=1,03222688+0,12738162=1,15960850.
Portanto no ponto x_2=0,5 obtemos
u(x_2)\approx\begin{pmatrix}u_1(0,5)\\[4pt]u_2(0,5)\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}2,51785848\\[4pt]1,15960850\end{pmatrix}.]

Resposta

y(0,5)\approx 2,51785848

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