Considere a EDO
e as informações
e
. Usando
, estime a imagem de 0,5 usando o método adequado da Lista 1 que possui menor erro.
Lista 1:
- Opção A: Diferenças Finitas avançada e de segunda ordem
- Opção B: Diferenças Finitas centrada e de segunda ordem
- Opção C: Método de Série de Taylor de ordem 1
- Opção D: Método de Euler
- Opção E: Método Runge-Kutta de ordem 1
- Opção F: Método Runge-Kutta de ordem 2 com
Passo 1
O enunciado pede: estimar a imagem de
(isto é,
) para a EDO
com condições iniciais
usando
e escolhendo, entre as opções da Lista 1, o método adequado que tenha menor erro. São dadas as opções
a
. Informação numérica disponível: passo
. Pede-se o valor aproximado de
.
Passo 2
Transformar a EDO de segunda ordem em um sistema de primeira ordem (isso é padrão para aplicar métodos de Runge–Kutta). Defino as variáveis
Então
Escrevo vetorialmente
e
com
Condição inicial em termos de
:
Passo 3
Escolha do método: entre as opções, os ordens típicas são
Portanto o método com menor erro é um método de ordem 2. Na Lista 1 a opção que corresponde a Runge–Kutta de ordem 2 é a opção
(com
). Vou usar essa opção
.
Explicando o método RK2 (família de dois estágios) de forma didática:
- Temos as duas fases (estágios) por passo: primeiro calculamos
, depois um estágio intermediário em usando , obtendo . - A fórmula de avanço é
- Para a ordem 2, as condições (consistência) exigem
- Tomando
(dado no enunciado), obtemos
Assim, com
o método fica explícito:
Ou seja, o passo usa uma combinação linear
e
dos estágios; é um membro da família explícita de RK2 e tem ordem 2.
Passo 4
Configuro a malha e o objetivo:
-
, . -
.
Queremosem . Com precisamos de dois passos: de para e de para .
Vou computar passo-a-passo com aproximações decimais; quando precisar de
e
vou usar desenvolvimento em série (Taylor) truncado para obter valores com precisão suficiente sem calculadora.
Passo 1: de
para
.
Dados iniciais:
Calculo
:
Portanto
Agora
. O ponto intermediário é
e
Precisamos de
e
. Uso séries:
Calculo
:
Somando
. Então
Logo
Atualizo
por
Compute componente a componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Portanto em
temos
Passo 5
Passo 2: de
para
.
Dados atuais:
Calculo
:
Preciso de
e
. Valores (série ou tabelas aproximadas):
Soma
.
Então
Portanto
Calculo ponto intermediário:
de novo, então
e
Compute:
(dividindo por
). Então
E
, então
Agora preciso de
e
. Uso séries:
Soma
.
Calculo
:
Substituindo:
Assim
Passo 6
Atualizo para
com a regra do método:
Calculo incremento componente a componente.
Primeira componente do incremento:
Então
Segunda componente do incremento:
Então
Portanto no ponto
obtemos