Use o Teorema de Green para calcular a área da elipse b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}, a>0, b>0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da elipse dada por \,b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\, com \,a>0,\;b>0\,.
Informações relevantes fornecidas: a equação da elipse e as restrições \,a>0,\;b>0\,.
A tarefa é usar o Teorema de Green para obter a área da região interior dessa curva fechada (vamos chamar essa região de D e a sua fronteira orientada positivamente de C).

Passo 2

Apresentando o Teorema de Green (forma usada aqui). Suponha uma região D no plano com fronteira orientada positivamente C, e funções P(x,y) e Q(x,y) com derivadas parciais contínuas. O Teorema de Green diz:
\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA=\oint_{C}P\,dx+Q\,dy.
Explicando em linguagem simples: a integral dupla sobre D da quantidade \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y é igual à integral de linha ao longo da fronteira C do campo (P,Q) contra o deslocamento (dx,dy). Se conseguirmos escolher P e Q tais que \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=1, então a integral dupla à esquerda será simplesmente a área de D:
\text{Área}(D)=\iint_{D}1\,dA=\oint_{C}P\,dx+Q\,dy.Á
Portanto, nosso objetivo é escolher P e Q convenientes para transformar a área numa integral de linha.

Passo 3

Escolha de P e Q. Uma escolha simples que produz \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=1 é
P(x,y)=-\frac{y}{2},\qquad Q(x,y)=\frac{x}{2}.
Vamos verificar as derivadas:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{1}{2},\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{1}{2},
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=1.
Pelo Teorema de Green:
\text{Área}(D)=\oint_{C}\left(-\frac{y}{2}\,dx+\frac{x}{2}\,dy\right)=\frac{1}{2}\oint_{C}\bigl(x\,dy-y\,dx\bigr).Á
Então basta calcular a integral de linha \displaystyle \frac{1}{2}\oint_{C}\bigl(x\,dy-y\,dx\bigr) ao longo da elipse.

Passo 4

Parametrização da elipse. Para a elipse dada por \,b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\, a parametrização padrão (com orientação positiva, isto é, no sentido anti-horário) é
x(t)=a\cos t,\qquad y(t)=b\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Explicando: quando \,t=0\, temos (x,y)=(a,0) e ao aumentar t passamos ao longo da elipse no sentido anti-horário, cobrindo C exatamente uma vez. As derivadas são
dx = x'(t)\,dt = -a\sin t\,dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = b\cos t\,dt.

Passo 5

Substituição na integral de linha. Vamos calcular o integrando \,x\,dy-y\,dx\, usando a parametrização. Substituindo:
x\,dy - y\,dx = (a\cos t)(b\cos t\,dt) - (b\sin t)(-a\sin t\,dt).
Desenvolvendo:
x\,dy - y\,dx = ab\cos^{2}t\,dt + ab\sin^{2}t\,dt = ab(\cos^{2}t+\sin^{2}t)\,dt.
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, obtemos
x\,dy - y\,dx = ab\,dt.
Logo o integrando da área fica
\frac{1}{2}\oint_{C}\bigl(x\,dy-y\,dx\bigr)=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}ab\,dt.

Passo 6

Cálculo final da integral. A integral agora é direta:
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}ab\,dt=\frac{ab}{2}\left[t\right]_{0}^{2\pi}=\frac{ab}{2}\cdot 2\pi = \pi ab.
Interpretação e checagem rápida: se a=b=R (a elipse vira círculo de raio R), obtemos \pi R^{2}, que é a área conhecida do círculo — bom sinal que o resultado faz sentido.

Resposta

\pi a b

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