Use o Teorema de Green para calcular a área da elipse
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da elipse dada por
com
.
Informações relevantes fornecidas: a equação da elipse e as restrições .
A tarefa é usar o Teorema de Green para obter a área da região interior dessa curva fechada (vamos chamar essa região de e a sua fronteira orientada positivamente de
).
Informações relevantes fornecidas: a equação da elipse e as restrições
A tarefa é usar o Teorema de Green para obter a área da região interior dessa curva fechada (vamos chamar essa região de
Passo 2
Apresentando o Teorema de Green (forma usada aqui). Suponha uma região
no plano com fronteira orientada positivamente
, e funções
e
com derivadas parciais contínuas. O Teorema de Green diz:
Explicando em linguagem simples: a integral dupla sobre
da quantidade
é igual à integral de linha ao longo da fronteira
do campo
contra o deslocamento
. Se conseguirmos escolher
e
tais que
, então a integral dupla à esquerda será simplesmente a área de
:
Portanto, nosso objetivo é escolher
e
convenientes para transformar a área numa integral de linha.
Passo 3
Escolha de
e
. Uma escolha simples que produz
é
Vamos verificar as derivadas:
logo
Pelo Teorema de Green:
Então basta calcular a integral de linha
ao longo da elipse.
Passo 4
Parametrização da elipse. Para a elipse dada por
a parametrização padrão (com orientação positiva, isto é, no sentido anti-horário) é
Explicando: quando
temos
e ao aumentar
passamos ao longo da elipse no sentido anti-horário, cobrindo
exatamente uma vez. As derivadas são
Passo 5
Substituição na integral de linha. Vamos calcular o integrando
usando a parametrização. Substituindo:
Desenvolvendo:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Logo o integrando da área fica
Passo 6
Cálculo final da integral. A integral agora é direta:
Interpretação e checagem rápida: se
(a elipse vira círculo de raio
), obtemos
, que é a área conhecida do círculo — bom sinal que o resultado faz sentido.