Considere a EDO
Procure uma função
, tal que
e
. Em seguida, encontre a solução da EDO dada implicitamente pela equação
, onde c ê uma constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando funções potenciais. Vamos trabalhar com a EDO:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais exatas. Precisamos encontrar uma função
tal que suas derivadas parciais em relação a
e
correspondam aos termos da EDO. Depois disso, vamos chegar à solução geral da EDO na forma
, onde
é uma constante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
Comparando com a nossa EDO:
Podemos identificar:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata! Isso significa que existe uma função
cuja derivada total corresponde à nossa EDO.
Passo 4
Vamos encontrar a função
. Começamos integrando
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração, pois a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os lados:
Isso implica que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma constante de integração, que podemos incorporar na constante geral
.
Passo 6
Finalmente, a função potencial completa é:
Como a solução geral da EDO é dada por
, temos: