Considere a EDO
2 x y-sin x+(x^2+e^y) y^prime=0
Procure uma função varphi(x, y), tal que partial varphipartial x=M e partial varphipartial y=N. Em seguida, encontre a solução da EDO dada implicitamente pela equação varphi(x, y)=c, onde c ê uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando funções potenciais. Vamos trabalhar com a EDO:
2xy - sin x + (x^2 + e^y) y' = 0
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais exatas. Precisamos encontrar uma função varphi(x, y) tal que suas derivadas parciais em relação a x e y correspondam aos termos da EDO. Depois disso, vamos chegar à solução geral da EDO na forma varphi(x, y) = c, onde c é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO na forma padrão de uma equação diferencial exata, que é:
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
Comparando com a nossa EDO:
2xy - sin x + (x^2 + e^y) y' = 0
Podemos identificar:
M(x, y) = 2xy - sin x e N(x, y) = x^2 + e^y

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x:
partial Mpartial y = 2x
partial Npartial x = 2x
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata! Isso significa que existe uma função varphi(x, y) cuja derivada total corresponde à nossa EDO.

Passo 4

Vamos encontrar a função varphi(x, y). Começamos integrando M(x, y) em relação a x:
varphi(x, y) = integral M(x, y) , dx = integral (2xy - sin x) , dx
Integrando termo a termo:
varphi(x, y) = x^2 y + cos x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função de y que surge da integração, pois a derivada de h(y) em relação a x é zero.

Passo 5

Agora, derivamos varphi(x, y) em relação a y e igualamos a N(x, y):
partial varphipartial y = x^2 + h'(y) = N(x, y) = x^2 + e^y
Comparando os lados:
x^2 + h'(y) = x^2 + e^y
Isso implica que:
h'(y) = e^y
Integrando h'(y) em relação a y:
h(y) = e^y + C
Onde C é uma constante de integração, que podemos incorporar na constante geral c.

Passo 6

Finalmente, a função potencial completa é:
varphi(x, y) = x^2 y + cos x + e^y
Como a solução geral da EDO é dada por varphi(x, y) = c, temos:

Resposta

x^2 y + cos x + e^y = c

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