Em cada um dos problemas encontrar a solução do PVI dado. Se a solução for dada implicitamente, determine (aproximadamente) em qual intervalo a solução está definida.
Passo 1
O problema pede que eu encontre a solução do problema de valor inicial (PVI) e, se a solução ficar dada implicitamente, indique em que intervalo ela está definida. As informações dadas são:
Então preciso: (i) resolver explicitamente a equação diferencial com a condição inicial e (ii) dizer o intervalo de definição da solução.
Passo 2
Vamos usar o método do fator integrante (é o jeito mais direto para equações lineares de 1ª ordem). Vou explicar a ideia antes de aplicar: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
O fator integrante é a função
Multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo em derivada de um produto:
Isso facilita porque depois integramos dos dois lados e isolamos
. Aqui não precisa de adivinhações — é um procedimento mecânico e muito útil em provas.
Passo 3
Identifico
. Então o fator integrante é
Expliquei: o integral de
em relação a
é
, e exponencial disso dá
.
Passo 4
Multiplico toda a equação original por
:
Agora observo que o lado esquerdo é a derivada do produto
, porque
Portanto a equação fica
Passo 5
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Agora preciso calcular a integral
. Uso integração por partes — fórmula:
. Escolho
pois
.
Aplicando partes:
Aplicando partes:
Passo 6
Substituo essa integral de volta em
:
Agora isolo
dividindo por
:
Passo 7
Aplico a condição inicial
. Substituo
:
Logo
.
Passo 8
Substituo
na expressão de
. Uma forma simplificada é juntar os dois termos com
:
Posso também escrever (multiplicando por
para ver os coeficientes inteiros)
Passo 9
Intervalo de definição: os coeficientes da equação linear,
e
, são funções contínuas em todo
. Pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem, a solução do PVI existe e é única em todo
. Além disso, a solução explícita que encontramos usa apenas exponenciais e polinômios, que estão definidos para todo
. Portanto a solução está definida em todo o eixo real.
Resposta
Definida para
.