Em cada um dos problemas encontrar a solução do PVI dado. Se a solução for dada implicitamente, determine (aproximadamente) em qual intervalo a solução está definida.
y^{\prime}+2 y=2 t e^{2 t}, y(0)=1

Passo 1

O problema pede que eu encontre a solução do problema de valor inicial (PVI) e, se a solução ficar dada implicitamente, indique em que intervalo ela está definida. As informações dadas são:
y' + 2y = 2t e^{2t},\qquad y(0)=1.
Então preciso: (i) resolver explicitamente a equação diferencial com a condição inicial e (ii) dizer o intervalo de definição da solução.

Passo 2

Vamos usar o método do fator integrante (é o jeito mais direto para equações lineares de 1ª ordem). Vou explicar a ideia antes de aplicar: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
y' + p(t)\,y = q(t).
O fator integrante é a função
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Multiplicando a equação por \mu(t) transformamos o lado esquerdo em derivada de um produto:
\mu(t)y' + \mu(t)p(t)y = \frac{d}{dt}\big(\mu(t)y\big).
Isso facilita porque depois integramos dos dois lados e isolamos y. Aqui não precisa de adivinhações — é um procedimento mecânico e muito útil em provas.

Passo 3

Identifico p(t)=2. Então o fator integrante é
\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}.
Expliquei: o integral de 2 em relação a t é 2t, e exponencial disso dá e^{2t}.

Passo 4

Multiplico toda a equação original por \mu(t)=e^{2t}:
e^{2t}y' + 2e^{2t}y = 2t e^{4t}.
Agora observo que o lado esquerdo é a derivada do produto \,e^{2t}y, porque
\frac{d}{dt}\big(e^{2t}y\big)=e^{2t}y' + 2e^{2t}y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\big(e^{2t}y\big)=2t e^{4t}.

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a t:
e^{2t}y=\int 2t e^{4t}\,dt + C,
onde C é constante de integração. Agora preciso calcular a integral \int 2t e^{4t}\,dt. Uso integração por partes — fórmula: \int u\,dv = uv - \int v\,du. Escolho
u=t\quad\Rightarrow\quad du=dt,
dv=2e^{4t}\,dt\quad\Rightarrow\quad v=\frac{1}{2}e^{4t},
pois \frac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{2}e^{4t}\big)=2e^{4t}.
Aplicando partes:
\int 2t e^{4t}\,dt = t\cdot\frac{1}{2}e^{4t} - \int \frac{1}{2}e^{4t}\,dt = \frac{1}{2}t e^{4t} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}e^{4t} + C = \frac{1}{2}t e^{4t} - \frac{1}{8}e^{4t} + C.

Passo 6

Substituo essa integral de volta em e^{2t}y:
e^{2t}y = \frac{1}{2}t e^{4t} - \frac{1}{8}e^{4t} + C.
Agora isolo y dividindo por e^{2t}:
y = \frac{1}{2}t e^{2t} - \frac{1}{8}e^{2t} + C e^{-2t}.

Passo 7

Aplico a condição inicial y(0)=1. Substituo t=0:
1 = y(0) = \frac{1}{2}\cdot 0\cdot e^{0} - \frac{1}{8}e^{0} + C e^{0} = -\frac{1}{8} + C.
Logo C = 1 + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}.

Passo 8

Substituo C=\tfrac{9}{8} na expressão de y. Uma forma simplificada é juntar os dois termos com e^{2t}:
y(t)=\left(\frac{1}{2}t - \frac{1}{8}\right)e^{2t} + \frac{9}{8}e^{-2t}.
Posso também escrever (multiplicando por 8 para ver os coeficientes inteiros)
y(t)=\frac{4t-1}{8}\,e^{2t}+\frac{9}{8}\,e^{-2t}.

Passo 9

Intervalo de definição: os coeficientes da equação linear, p(t)=2 e q(t)=2t e^{2t}, são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem, a solução do PVI existe e é única em todo \mathbb{R}. Além disso, a solução explícita que encontramos usa apenas exponenciais e polinômios, que estão definidos para todo t\in\mathbb{R}. Portanto a solução está definida em todo o eixo real.

Resposta

y(t)=\left(\frac{1}{2}t-\frac{1}{8}\right)e^{2t}+\frac{9}{8}e^{-2t}
Definida para t\in\mathbb{R}.

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