Considere a EDO x y^prime prime+y=0.
Desenvolvendo as equações de recorrência do item a), encontre uma solução em série de potências em torno do ponto 0 para a EDO.

Passo 1

A EDO dada é x,y''+y=0, que possui ponto singular em 0. Para resolver em torno de 0 vamos usar o método de Frobenius, assumindo uma solução do tipo y(x)=sumn=0^inftyanx^n+r.

Passo 2

Calculamos as derivadas e substituímos na EDO. Temos
sumn=0^infty(n+r)(n+r-1)anx^n+r-1+sumn=0^inftyanx^n+r=0
O termo de menor potência é x^r-1, cuja equação indicial é
$$
r(r-1)a_0=0,\quadlogor=0our=1. r(r-1)a0=0,logo r=0 ou r=1êê
a_{m+1}=-\frac{a_m}{(m+1+r)(m+r)}. x^m+réú
a_{m+1}=-\frac{a_m}{(m+2)(m+1)}, m>=0çã
a_m=\frac{(-1)^m}{m!,(m+1)!},a_0.$$
Tomando a normalização am+1=-am(m+1+r)(m+r), obtemos a solução em série:

Resposta

y(x)=summ=0^infty(-1)^mm!,(m+1)!,x^m+1

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