Considere a EDO
.
Desenvolvendo as equações de recorrência do item a), encontre uma solução em série de potências em torno do ponto 0 para a EDO.
Desenvolvendo as equações de recorrência do item a), encontre uma solução em série de potências em torno do ponto 0 para a EDO.
Passo 1
A EDO dada é
, que possui ponto singular em 0. Para resolver em torno de 0 vamos usar o método de Frobenius, assumindo uma solução do tipo
.
Passo 2
Calculamos as derivadas e substituímos na EDO. Temos
O termo de menor potência é
$$
r(r-1)a_0=0,\quadlogor=0our=1.
a_{m+1}=-\frac{a_m}{(m+1+r)(m+r)}.
a_{m+1}=-\frac{a_m}{(m+2)(m+1)},
a_m=\frac{(-1)^m}{m!,(m+1)!},a_0.$$
Tomando a normalização , obtemos a solução em série:
Tomando a normalização