Considere a EDO
x y^prime-4 x^2 y+2 y ln y=0
NĀO E NECESSARIO RESOLVÊ.L.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x,y' - 4x^2y + 2yln y = 0
e pede apenas para analisá-la, sem chegar à solução explícita. O conteúdo envolve reconhecer o tipo de EDO e escolher o método adequado (substituição logarítmica).

Passo 2

Primeiro, escrevemos em forma diferencial multiplicando por dx:
(-4x^2y + 2yln y),dx + x,dy = 0
Em seguida, dividimos toda a equação por y, pois y>0 para ln y estar definido, obtendo:
(-4x^2 + 2ln y),dx + xdyy = 0

Passo 3

Agora reconhecemos que a substituição
t = ln y
é útil, pois então
dtdx = 1ydydx Longrightarrow xdyy = x,dt, Substituindo nessa forma dividida por y, obtemos uma equação em t e x.

Passo 4

Após a substituição temos
x,dt - 4x^2,dx + 2t,dx = 0
ou ainda
dtdx + 2x,t = 4x
que é uma EDO linear de primeira ordem em t(x).

Passo 5

Portanto, sem resolver, identificamos que a equação original se reduz a uma EDO linear em t por meio de t=ln y, e o método de solução seria aplicar fator integrante para
dtdx + 2xt = 4x

Resposta

A substituição t = ln y transforma a equação original na EDO linear de 1ª ordem
dtdx + 2xt = 4x
sem necessidade de resolver explicitamente.

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