Resolva a EDO yx+8 x+(ln x-1) y^prime=0, x>0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
yx + 8x + (ln x - 1) y' = 0, x > 0
Aqui, vamos precisar usar conceitos de EDOs lineares e fator integrante para resolver a equação.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão de uma EDO linear. Primeiro, isolamos (ln x - 1) y' + yx + 8x = 0 implies (ln x - 1) y' + yx = -8x :
y' + 1x(ln x - 1) y = -8xln x - 1
Agora, dividimos todos os termos por y' + P(x) y = Q(x) para obter:
P(x) = 1x(ln x - 1) e Q(x) = -8xln x - 1
Essa é uma EDO linear da forma:
onde:

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante ( mu(x) = e^integral P(x) , dx ) que nos ajudará a simplificar a EDO. O fator integrante é dado por:
integral 1x(ln x - 1) , dx
Vamos calcular a integral de integral 1t , dt = ln |t| + C = ln (ln x - 1) + C :
mu(x) = e^ln (ln x - 1) = ln x - 1
Fazendo a substituição , temos . A integral fica:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante (ln x - 1) y' + ln x - 1x(ln x - 1) y = -8x (ln x - 1)ln x - 1 :
(ln x - 1) y' + yx = -8x
Simplificando:
ddx [(ln x - 1) y] = -8x
Note que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a integral ddx [(ln x - 1) y] , dx = integral -8x , dx :
(ln x - 1) y = -4x^2 + C
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y = -4x^2 + Cln x - 1 para encontrar a solução geral da EDO:

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(x) = -4x^2 + Cln x - 1
onde é uma constante arbitrária.

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