Resolva a EDO
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
Aqui, vamos precisar usar conceitos de EDOs lineares e fator integrante para resolver a equação.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão de uma EDO linear. Primeiro, isolamos
:
Agora, dividimos todos os termos por
para obter:
Essa é uma EDO linear da forma:
onde:
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante (
) que nos ajudará a simplificar a EDO. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Fazendo a substituição
, temos
. A integral fica:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Note que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral da EDO:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.