Considere a EDO
Verifique que a substituição
transforma essa EDO em uma EDO linear em
.
NÃO É NECESSÁRIO RESOLVÊ-LA.
NÃO É NECESSÁRIO RESOLVÊ-LA.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo:
Nosso objetivo é verificar que, ao fazer a substituição $ v = \ln y $, essa EDO se transforma em uma EDO linear em $ v $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de substituição em equações diferenciais e identificar se a nova equação é linear.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição proposta: $ v = \ln y $. Isso significa que $ y = e^v $. Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ y’ $.
Usando a regra da cadeia:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ y $ e $ y’ $ na equação original:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Podemos dividir toda a equação por $ e^v $ (já que $ e^v \neq 0 $):
Vamos reescrever isso para deixar mais claro:
Passo 5
Agora, observamos que a equação está na forma:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na variável $ v $, onde:
- $ P(x) = \frac{2}{x} $
- $ Q(x) = 4x $
Resposta
Ao fazer a substituição $ v = \ln y $, a EDO original se transforma na equação linear:
Portanto, verificamos que a substituição $ v = \ln y $ transforma a EDO dada em uma EDO linear em $ v $.