Considere a EDO
x y^prime-4 x^2 y+2 y ln y=0
Verifique que a substituição v=ln y transforma essa EDO em uma EDO linear em v.
NÃO É NECESSÁRIO RESOLVÊ-LA.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial ordinária (EDO) do tipo:
x y' - 4x^2 y + 2 y ln y = 0
Nosso objetivo é verificar que, ao fazer a substituição $ v = \ln y $, essa EDO se transforma em uma EDO linear em $ v $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de substituição em equações diferenciais e identificar se a nova equação é linear.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição proposta: $ v = \ln y $. Isso significa que $ y = e^v $. Agora, precisamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ y’ $.
Usando a regra da cadeia:
v = ln y
Então, temos:
y = e^v

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y $ e $ y’ $ na equação original:
y
Substituindo:
y'

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
x e^v v' - 4x^2 e^v + 2 e^v v = 0
Podemos dividir toda a equação por $ e^v $ (já que $ e^v \neq 0 $):
e^v
Vamos reescrever isso para deixar mais claro:
e^v neq 0

Passo 5

Agora, observamos que a equação está na forma:
v' + 2x v = 4x
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na variável $ v $, onde:
  • $ P(x) = \frac{2}{x} $
  • $ Q(x) = 4x $

Resposta

Ao fazer a substituição $ v = \ln y $, a EDO original se transforma na equação linear:
v = ln y
Portanto, verificamos que a substituição $ v = \ln y $ transforma a EDO dada em uma EDO linear em $ v $.

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