Considere a EDO:
y^{\prime}+\frac{6}{t} y=1 t, \quad t>0
Se y(t) é uma solução da EDO, considere as afirmações abaixo:
I. O fator integrante para esta equação diferencial é dado por \mu(t)=t^{6}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A equação diferencial dada é y^{\prime}+\frac{6}{t}\,y = 1\,t,\quad t>0.
Aqui interpreto o termo da direita como t (ou seja, 1\cdot t).
  • A afirmação I diz que o fator integrante é \mu(t)=t^{6}.
  • A pergunta implícita é: a afirmação I está correta?

Passo 2

Relembrando a definição de fator integrante para uma EDO linear de primeira ordem: para uma equação da forma y'+p(t)\,y=q(t),
um fator integrante \mu(t) é uma função positiva que satisfaz \mu'(t)=p(t)\mu(t). Isso garante que, ao multiplicar a EDO por \mu(t), o lado esquerdo se torna uma derivada exata:
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)\,y(t)\big)=\mu(t)\big(y'(t)+p(t)y(t)\big).
Resolver \mu'(t)=p(t)\mu(t) leva a \displaystyle \mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big), que é a fórmula prática que usamos.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: identificamos p(t)=\frac{6}{t}.
Calculamos a integral de p:
\int p(t)\,dt=\int \frac{6}{t}\,dt = 6\ln t,
válido em t>0 (por isso a hipótese t>0 é importante: \ln t está definido). Então
\mu(t)=\exp\!\big(6\ln t\big)=\exp\!\big(\ln t^{6}\big)=t^{6}.
Portanto o fator integrante é exatamente \mu(t)=t^{6}.

Passo 4

Para reforçar que o fator integrar funciona na prática, mostro rapidamente como ele é usado para resolver a EDO (isso também confirma que \mu(t)=t^6 está correto). Multiplicando a equação original por t^{6} obtém-se:
t^{6}y' + t^{6}\cdot\frac{6}{t}y = t^{6}\cdot t.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\big(t^{6}y\big)=t^{7}.
Integrando ambos os lados:
t^{6}y=\int t^{7}\,dt = \frac{t^{8}}{8}+C.
Isolando y:
y(t)=\frac{t^{2}}{8}+C\,t^{-6},
o que mostra que o processo com \mu(t)=t^{6} é consistente.

Passo 5

Conclusão direta a partir dos cálculos: a afirmação I está correta porque \mu(t)=\exp\!\big(\int \tfrac{6}{t}\,dt\big)=t^{6} para t>0.

Resposta

I é verdadeira.

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