Considere a EDO:
Se
é uma solução da EDO, considere as afirmações abaixo:
I. O fator integrante para esta equação diferencial é dado por
.
I. O fator integrante para esta equação diferencial é dado por
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A equação diferencial dada é
Aqui interpreto o termo da direita como
(ou seja,
).
- A afirmação I diz que o fator integrante é
. - A pergunta implícita é: a afirmação I está correta?
Passo 2
Relembrando a definição de fator integrante para uma EDO linear de primeira ordem: para uma equação da forma
um fator integrante
é uma função positiva que satisfaz
. Isso garante que, ao multiplicar a EDO por
, o lado esquerdo se torna uma derivada exata:
Resolver
leva a
, que é a fórmula prática que usamos.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: identificamos
Calculamos a integral de
:
válido em
(por isso a hipótese
é importante:
está definido). Então
Portanto o fator integrante é exatamente
.
Passo 4
Para reforçar que o fator integrar funciona na prática, mostro rapidamente como ele é usado para resolver a EDO (isso também confirma que
está correto). Multiplicando a equação original por
obtém-se:
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Integrando ambos os lados:
Isolando
:
o que mostra que o processo com
é consistente.
Passo 5
Conclusão direta a partir dos cálculos: a afirmação I está correta porque
para
.
Resposta
I é verdadeira.