Considere a EDO:
Se
é uma solução da EDO, considere as afirmações abaixo:
II. A solução geral dessa equação é dada por
II. A solução geral dessa equação é dada por
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
A afirmação II diz que a solução geral é
O que pede: verificar se essa fórmula realmente é a solução geral da EDO dada. Listei as informações importantes: a equação linear de primeira ordem com coeficiente
e termo fonte
; o domínio
(importante para manipular
e
).
Passo 2
Reconhecer o método apropriado: trata-se de uma equação linear de primeira ordem do tipo
onde, neste caso,
e
.
A técnica padrão é o fator integrante , definido por
A técnica padrão é o fator integrante
Explicação didática: multiplicando a equação original por
obtém-se no lado esquerdo a derivada de
, porque
Assim a equação fica integrável diretamente.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Temos
Como
, pode-se simplificar
. Portanto
Passo 4
Multiplicar a EDO por
. Fazendo isso obtemos
Simplificando o termo do meio e o lado direito:
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é exatamente a derivada de
, ou seja
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Obtemos
onde
é a constante de integração (número real arbitrário). Agora resolver para
dividindo por
:
Converter para decimal se preferir:
, então
Passo 6
Verificação direta (opcional mas didático): derivar a solução encontrada e checar na equação original. Tome
Então
Agora calcule
:
Simplificando os termos:
Os termos com
se cancelam e os coeficientes de
somam
, portanto a expressão satisfaz exatamente a EDO original.
Passo 7
Conclusão e interpretação: a família
com
é a solução geral no domínio
. O termo
é uma solução particular e
corresponde à solução da homogênea associada. Está tudo consistente.
Resposta
Afirmativa II é verdadeira.