Considere a EDO:
y^{\prime}+\frac{6}{t} y=1 t, \quad t>0
Se y(t) é uma solução da EDO, considere as afirmações abaixo:
II. A solução geral dessa equação é dada por
y(t)=0,125 t^{2}+\frac{C}{t^{6}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y^{\prime}+\frac{6}{t}y=t,\qquad t>0.
A afirmação II diz que a solução geral é
y(t)=0{,}125\,t^{2}+\frac{C}{t^{6}}.
O que pede: verificar se essa fórmula realmente é a solução geral da EDO dada. Listei as informações importantes: a equação linear de primeira ordem com coeficiente p(t)=\dfrac{6}{t} e termo fonte g(t)=t; o domínio t>0 (importante para manipular \ln t e t^{6}).

Passo 2

Reconhecer o método apropriado: trata-se de uma equação linear de primeira ordem do tipo
y^{\prime}+p(t)y=g(t),
onde, neste caso, p(t)=\dfrac{6}{t} e g(t)=t.
A técnica padrão é o fator integrante \mu(t), definido por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Explicação didática: multiplicando a equação original por \mu(t) obtém-se no lado esquerdo a derivada de \mu(t)y, porque
\frac{d}{dt}\big(\mu y\big)=\mu y^{\prime}+\mu' y=\mu y^{\prime}+\mu p y.
Assim a equação fica integrável diretamente.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t). Temos
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{6}{t}\,dt\right)=\exp\!\left(6\ln t\right).
Como t>0, pode-se simplificar \exp(6\ln t)=(\exp(\ln t))^{6}=t^{6}. Portanto
\mu(t)=t^{6}.

Passo 4

Multiplicar a EDO por t^{6}. Fazendo isso obtemos
t^{6}y^{\prime}+t^{6}\cdot\frac{6}{t}y=t^{6}\cdot t.
Simplificando o termo do meio e o lado direito:
t^{6}y^{\prime}+6t^{5}y=t^{7}.
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é exatamente a derivada de t^{6}y, ou seja
\frac{d}{dt}\big(t^{6}y\big)=t^{7}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t. Obtemos
t^{6}y=\int t^{7}\,dt=\frac{t^{8}}{8}+C,
onde C é a constante de integração (número real arbitrário). Agora resolver para y dividindo por t^{6}:
y(t)=\frac{t^{8}}{8t^{6}}+\frac{C}{t^{6}}=\frac{t^{2}}{8}+\frac{C}{t^{6}}.
Converter para decimal se preferir: \dfrac{1}{8}=0{,}125, então
y(t)=0{,}125\,t^{2}+\frac{C}{t^{6}}.

Passo 6

Verificação direta (opcional mas didático): derivar a solução encontrada e checar na equação original. Tome
y(t)=\frac{t^{2}}{8}+\!C t^{-6}.
Então
y^{\prime}(t)=\frac{2t}{8}+C(-6)t^{-7}=\frac{t}{4}-6C t^{-7}.
Agora calcule y^{\prime}+\dfrac{6}{t}y:
y^{\prime}+\frac{6}{t}y=\left(\frac{t}{4}-6C t^{-7}\right)+\frac{6}{t}\left(\frac{t^{2}}{8}+C t^{-6}\right).
Simplificando os termos:
\frac{t}{4}-6C t^{-7}+\frac{6t}{8}+6C t^{-7}=\frac{t}{4}+\frac{3t}{4}=t.
Os termos com C se cancelam e os coeficientes de t somam 1, portanto a expressão satisfaz exatamente a EDO original.

Passo 7

Conclusão e interpretação: a família y(t)=\dfrac{t^{2}}{8}+\dfrac{C}{t^{6}} com C\in\mathbb{R} é a solução geral no domínio t>0. O termo \dfrac{t^{2}}{8} é uma solução particular e \dfrac{C}{t^{6}} corresponde à solução da homogênea associada. Está tudo consistente.

Resposta

Afirmativa II é verdadeira.

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