Considere a EDO:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=0
Determine se as soluções são estáveis, instáveis ou assintoticamente estáveis.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 4y = 0
O assunto é estabilidade de soluções da equação diferencial e vamos precisar montar a equação característica para classificá-las.

Passo 2

Para resolver a EDO, escrevemos a equação característica associada, trocando y'' por r^2, y' por r e y por 1:
r^2 + 4r + 4 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa equação:
De
Como De, temos raiz dupla.

Passo 4

Encontramos as raízes:
r = -4 pm raiz02 = -2
Ou seja, r1 = r2 = -2.

Passo 5

Com raiz dupla negativa, a solução geral da EDO é
y(t) = (C1 + C2 t)e^-2t
Aqui C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Segundo o conceito de estabilidade, se todas as soluções tendem a zero quando t to +infty, dizemos que a solução trivial é assintoticamente estável. Neste caso, como o fator exponencial e^-2t faz y(t) to 0 conforme t to +infty, todas as soluções decaem para zero.

Passo 7

Portanto, a solução trivial da EDO é assintoticamente estável.

Resposta

As soluções são assintoticamente estáveis.

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