Considere a EDO:
Determine se as soluções são estáveis, instáveis ou assintoticamente estáveis.
Determine se as soluções são estáveis, instáveis ou assintoticamente estáveis.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O assunto é estabilidade de soluções da equação diferencial e vamos precisar montar a equação característica para classificá-las.
Passo 2
Para resolver a EDO, escrevemos a equação característica associada, trocando
por
,
por
e
por 1:
Passo 3
Calculamos o discriminante dessa equação:
Como
, temos raiz dupla.
Passo 4
Encontramos as raízes:
Ou seja,
.
Passo 5
Com raiz dupla negativa, a solução geral da EDO é
Aqui
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Segundo o conceito de estabilidade, se todas as soluções tendem a zero quando
, dizemos que a solução trivial é assintoticamente estável. Neste caso, como o fator exponencial
faz
conforme
, todas as soluções decaem para zero.
Passo 7
Portanto, a solução trivial da EDO é assintoticamente estável.
Resposta
As soluções são assintoticamente estáveis.