Resolva o sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer:
l x+2 y-z=3 2 x-y+z=0 3 x+y+2 z=5

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações lineares usando a Regra de Cramer. O sistema que temos é:
l x + 2y - z = 3 2x - y + z = 0 3x + y + 2z = 5
Para isso, vamos utilizar a Regra de Cramer, que nos ajuda a encontrar as soluções de sistemas lineares usando determinantes. Precisaremos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e os determinantes substituindo cada coluna pelos termos constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante, chamado de $ D $.
A matriz dos coeficientes é:
D
Para calcular o determinante $ D $, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos expandir pelo primeiro elemento:
D = 1 & 2 & -1 2 & -1 & 1 3 & 1 & 2
Calculando cada menor:
D
D = 1 cdot -1 & 1 1 & 2 - 2 cdot 2 & 1 3 & 2 + (-1) cdot 2 & -1 3 & 1
-1 & 1 1 & 2 = (-1)(2) - (1)(1) = -2 - 1 = -3
Substituindo de volta:
2 & 1 3 & 2 = (2)(2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar $ D_x $, que é o determinante obtido substituindo a coluna dos $ x $ pelos termos constantes (3, 0, 5).
Dx
Calculando:
x
Dx = 3 & 2 & -1 0 & -1 & 1 5 & 1 & 2
Dx = 3 cdot -1 & 1 1 & 2 - 2 cdot 0 & 1 5 & 2 + (-1) cdot 0 & -1 5 & 1

Passo 4

Em seguida, vamos calcular $ D_y $, substituindo a coluna dos $ y $ pelos termos constantes:
Dy
Calculando:
y
Dy = 1 & 3 & -1 2 & 0 & 1 3 & 5 & 2
Dy = 1 cdot 0 & 1 5 & 2 - 3 cdot 2 & 1 3 & 2 + (-1) cdot 2 & 0 3 & 5

Passo 5

Por último, vamos calcular $ D_z $, substituindo a coluna dos $ z $ pelos termos constantes:
Dz
Calculando:
z
Dz = 1 & 2 & 3 2 & -1 & 0 3 & 1 & 5
Dz = 1 cdot -1 & 0 1 & 5 - 2 cdot 2 & 0 3 & 5 + 3 cdot 2 & -1 3 & 1

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar as variáveis:
x = DxD, y = DyD, z = DzD
Substituindo os valores:
x = -4-10 = 25, y = -18-10 = 95, z = -10-10 = 1

Resposta

A solução do sistema é:
x = 25, y = 95, z = 1

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