- Determine a inversa das seguintes funções:
(a)
©
(b)
(d)
(a)
©
(b)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para achar, para cada função dada, sua inversa. O conteúdo central é de funções inversas: dado y=f(x), a gente resolve essa equação para x em função de y e depois troca y por x para escrever f^{-1}(x).
Passo 2
Para a função (a), definimos y = 2 + \frac{3}{1+x}. Primeiro isolamos o termo com x: y - 2 = \frac{3}{1+x}. Em seguida invertemos a fração: 1 + x = \frac{3}{y-2}. Finalmente, isolamos x e obtemos x = \frac{3}{y-2} - 1. Trocando y por x, chega-se a f^{-1}(x) = \frac{3}{x-2} - 1.
Passo 3
Na função (b), temos y = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} com x>0. Multiplicamos ambos os lados por \sqrt{x^2+1}: y\sqrt{x^2+1} = x. Elevamos ao quadrado: y2(x2+1) = x^2, o que dá y2x2 + y^2 = x^2. Isolando x^2: x^2(1 - y^2) = y^2, logo x^2 = \frac{y2}{1-y2}. Como x>0, x = \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}. Substituindo y por x, f^{-1}(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.
Passo 4
Para ©, y = x^4 com x>0. Basta tirar a raiz quarta de ambos os lados: x = y^{1/4}. Logo f^{-1}(x) = \sqrt[4]{x}.
Passo 5
Na função (d), y = \frac{x2}{x2+1} com x>0. Multiplicamos: y(x^2+1) = x^2 \implies yx^2 + y = x^2. Reorganizando: x^2(1-y) = y, então x^2 = \frac{y}{1-y}. Como x>0, x = \sqrt{\frac{y}{1-y}}. Substituindo y por x, f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x}{1-x}}.
Resposta
(a) f^{-1}(x) = \frac{3}{x-2} - 1
(b) f^{-1}(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}, ;0<x<1
© f^{-1}(x) = \sqrt[4]{x}
(d) f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x}{1-x}}, ;0<x<1
(b) f^{-1}(x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}, ;0<x<1
© f^{-1}(x) = \sqrt[4]{x}
(d) f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x}{1-x}}, ;0<x<1