Considere a edo
y^prime prime+6 y^prime+9 y=e^-3 xx^5, x>0
Use o Método de Variação dos Parâmetros para obter uma solução particular da edo

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você me mandou:
y^prime prime + 6 y^prime + 9 y = e^-3 xx^5, x > 0
A gente vai usar o Método de Variação dos Parâmetros, que é uma técnica pra encontrar uma solução particular dessa equação. Basicamente, a gente vai precisar primeiro resolver a equação homogênea associada e depois aplicar o método para achar a solução específica que responde ao lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
y^prime prime + 6 y^prime + 9 y = 0
Para isso, montamos a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{r x} $:
y
Resolvendo essa equação quadrática:
e^r x
Então temos uma raiz real dupla $ r = -3 $.

Passo 3

Com a raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
yh = (C1 + C2 x) e^-3x
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que a gente determina com as condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método de Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular $ y_p $. A ideia é assumir que as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução homogênea são, na verdade, funções de $ x $:
yp
Onde:
C1
A seguir, a gente define as seguintes equações para $ u_1’ $ e $ u_2’ $:
C2
x
Resolvendo esse sistema, encontramos $ u_1’ $ e $ u_2’ $, e então integramos para achar $ u_1 $ e $ u_2 $.

Passo 5

Finalmente, substituímos $ u_1 $ e $ u_2 $ na expressão do $ y_p $ para obter a solução particular. Devido à complexidade dos termos envolvidos ($ \frac{e{-3x}}{x{5}} $), os integrais resultantes podem ser bastante elaborados e, possivelmente, não têm uma forma fechada simples. Portanto, a solução particular fica expressa em termos desses integrais.

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada, obtida pelo Método de Variação dos Parâmetros, é:
yp = e^-3x ( integral e^-3xx^5 cdot x e^-3x , dx - integral e^-3xx^5 cdot e^-3x , dx )

Exercícios relacionados