Considere a edo
Use o Método de Variação dos Parâmetros para obter uma solução particular da edo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que você me mandou:
A gente vai usar o Método de Variação dos Parâmetros, que é uma técnica pra encontrar uma solução particular dessa equação. Basicamente, a gente vai precisar primeiro resolver a equação homogênea associada e depois aplicar o método para achar a solução específica que responde ao lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, montamos a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{r x} $:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então temos uma raiz real dupla $ r = -3 $.
Passo 3
Com a raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que a gente determina com as condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Método de Variação dos Parâmetros para encontrar uma solução particular $ y_p $. A ideia é assumir que as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $ na solução homogênea são, na verdade, funções de $ x $:
Onde:
A seguir, a gente define as seguintes equações para $ u_1’ $ e $ u_2’ $:
Resolvendo esse sistema, encontramos $ u_1’ $ e $ u_2’ $, e então integramos para achar $ u_1 $ e $ u_2 $.
Passo 5
Finalmente, substituímos $ u_1 $ e $ u_2 $ na expressão do $ y_p $ para obter a solução particular. Devido à complexidade dos termos envolvidos ($ \frac{e{-3x}}{x{5}} $), os integrais resultantes podem ser bastante elaborados e, possivelmente, não têm uma forma fechada simples. Portanto, a solução particular fica expressa em termos desses integrais.
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada, obtida pelo Método de Variação dos Parâmetros, é: