No Problema 4 , verifique se as funções dadas são soluções da equação diferencial, e determine seu wronskiano.
Em seguida escreva a equação característica, encontre suas raízes e escreva a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as funções , , e são soluções da equação diferencial . Depois, vamos calcular o wronskiano dessas funções. Além disso, vamos escrever a equação característica, encontrar suas raízes e montar a solução geral da equação diferencial. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e calculo de wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser solução da equação diferencial . Isso quer dizer que, se substituirmos a função e suas derivadas na equação, ela deve satisfazer a igualdade, ou seja, resultar em zero.
Passo 3
Vamos começar verificando cada função:
Função :
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Derivada quarta:
Substituindo na equação: ✔️
Função :
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Derivada quarta:
Substituindo na equação: ✔️
Função :
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Derivada quarta:
Substituindo na equação: ✔️
Função :
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Derivada quarta:
Substituindo na equação: ✔️
Todas as funções dadas satisfazem a equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos calcular o wronskiano dessas funções. O wronskiano é um determinante que nos ajuda a verificar a linearidade e independência das soluções. Para quatro funções, o wronskiano será uma matriz 4x4 formada pelas funções e suas derivadas até a terceira ordem. Porém, como algumas das derivadas são zero, vamos construir a matriz:
Calculando esse determinante, obtemos:
W = 1 times 1 & -sin(t) & cos(t) 0 & -cos(t) & -sin(t) 0 & sin(t) & -cos(t) = 1 times [1 times (cos^2(t) + sin^2(t))] = 1
Então, o wronskiano é W = 1, que é diferente de zero, indicando que as funções são linearmente independentes e formam uma base de soluções.
Passo 5
Vamos escrever a equação característica associada à equação diferencial y^(4) + y'' = 0. A equação característica é obtida substituindo y^(n) por r^n:
r^4 + r^2 = 0
Podemos fatorar:
r^2 (r^2 + 1) = 0
Então, as raízes são:
r^2 = 0 Rightarrow r = 0 (raiz dupla)
r^2 + 1 = 0 Rightarrow r = pm i
Passo 6
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais e distintas, usamos termos exponenciais; para raízes complexas, usamos funções senoidais e cossenoidais. No nosso caso:
Duas raízes reais iguais a 0 dão os termos: C1 e C2 t
As raízes complexas i e -i dão os termos: C3 cos(t) e C4 sin(t)
Resposta
A solução geral da equação diferencial y^(4) + y'' = 0 é: