Considere a edo y^prime prime-5 y^prime+6 y=x e^5 x.
Obtenha a solução geral da edo homogênea correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem a seguinte equação diferencial ordinária (edo):
y'' - 5y' + 6y = x e^5x
Mas a gente vai focar na edo homogênea correspondente, que é:
y'' - 5y' + 6y = 0
O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica dessa edo e, com isso, determinar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da edo homogênea. Para uma edo do tipo:
y'' + a y' + b y = 0
A equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, os coeficientes são diferentes de zero, então nossa edo é:
y'' - 5y' + 6y = 0
Assim, a equação característica fica:
r^2 - 5r + 6 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. A equação é:
r
Vamos aplicar a fórmula de Bhaskara:
r^2 - 5r + 6 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -5 $ e $ c = 6 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 1
b = -5
c = 6
Então, temos duas raízes:
r = -(-5) pm raiz(-5)^2 - 4 cdot 1 cdot 62 cdot 1
r = 5 pm raiz25 - 242

Passo 4

Com as raízes $ r_1 = 3 $ e $ r_2 = 2 $, podemos escrever a solução geral da edo homogênea. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é dada por:
r1 = 3
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Passo 5

Substituindo os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $ na expressão da solução geral, temos:
r1

Resposta

A solução geral da edo homogênea $ y’’ - 5y’ + 6y = 0 $ é:
y'' - 5y' + 6y = 0
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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