Dada a equação do movimento de um oscilador harmônico simples (OHS)
-k y(t)-beta y^prime(t)+fext=m y^prime prime(t)
calcule a resposta y(t) deste oscilador sujeito a forças externas f ext do tipo dado abaixo. Considere m=1, k=2, beta=3, y(0)=0 e y^prime(0)=0.
fext(t)=de

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de um oscilador harmônico amortecido sujeito a um impulso de Dirac. O modelo é
y''(t)+3y'(t)+2y(t)=de
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Vamos usar a teoria de resposta ao impulso (função de Green) para OHS amortecido.

Passo 2

Para tneq1 a equação é homogênea e sua equação característica é
r^2+3r+2=0,
cuja solução é dada pelas raízes r1=-1 e r2=-2. Assim, a solução geral homogênea é
yh(t)=C1e^-t+C2e^-2t

Passo 3

Antes do impulso ( t<1), não há forças externas, e com condições iniciais nulas fica y(t)=0 para t<1.

Passo 4

O impulso em t=1 faz o salto em y'. Integrando a equação íntegralmente de 1^- até 1^+ obtemos
y'(1^+)-y'(1^-)=1
Como y'(1^-)=0, então y'(1^+)=1 e y(1^+)=0.

Passo 5

Para t>1 a solução é novamente homogênea, mas com condições iniciais em t=1^+: seja tau=t-1, então
y(t)=A e^-tau+B e^-2tau,
com
y(1^+)=A+B=0, y'(1^+)=-A-2B=1

Passo 6

Resolvendo o sistema para A e B: de A+B=0 vem A=-B. Substituindo em -A-2B=1 -(-B)-2B=-B=1, logo B=-1 e A=1. Assim, para t>1
y(t)=e^-(t-1)-e^-2(t-1)

Resposta

A resposta completa é
y(t)=0,&t<1,[6pt]e^-(t-1)-e^-2(t-1),&t>=1

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