Dada a equação do movimento de um oscilador harmônico simples (OHS)
calcule a resposta
deste oscilador sujeito a forças externas
do tipo dado abaixo. Considere
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de um oscilador harmônico amortecido sujeito a um impulso de Dirac. O modelo é
com condições iniciais
e
. Vamos usar a teoria de resposta ao impulso (função de Green) para OHS amortecido.
Passo 2
Para
a equação é homogênea e sua equação característica é
cuja solução é dada pelas raízes
e
. Assim, a solução geral homogênea é
Passo 3
Antes do impulso (
), não há forças externas, e com condições iniciais nulas fica
para
.
Passo 4
O impulso em
faz o salto em
. Integrando a equação íntegralmente de
até
obtemos
Como
, então
e
.
Passo 5
Para
a solução é novamente homogênea, mas com condições iniciais em
: seja
, então
com
Passo 6
Resolvendo o sistema para
e
: de
vem
. Substituindo em
dá
, logo
e
. Assim, para
Resposta
A resposta completa é